probar que una sucesión es convergente : $a_n=(1+x)(1+x^2)...(1+x^n)$, $0<x<1$

Question

Probar que la siguiente secuencia convergente : $a_n=(1+x)(1+x^2)...(1+x^n)$, $0<x<1$

Me han demostrado que es monótonamente creciente, ahora tengo que demostrar que es restringido.

Answer 1

Sugerencia. Observar que $$ \ln(a_n)=\sum_{k=1}^n\ln(1+x^k) $$ with $0<x<1$, a continuación, utilizar
$$ \ln(1+u)\le u,\qquad u \en [0,1]. $$

Answer 2

Si sólo quieres probar la convergencia, se puede argumentar de la siguiente manera. Tomar el logaritmo de su producto (que es , al menos, $1$)

$$0\le\log\left(\prod_{k=1}^\infty (1+x^k)\right)=\sum_{k=1}^\infty \log(1+x^k) \le \sum_{k=1}^\infty x^k\,,$$

que converge para valores de $x\in(0,1)$. A continuación, el producto original convergen así.

Answer 3

El logaritmo de $a_n$ es convergente la serie que es menor o igual que la serie geométrica de $x^n$, que converge. Así también se $a_n$ converge