¿En qué supuestos la estacionariedad débil implica estacionariedad fuerte?

Question

Una pregunta de ejercicio para el análisis de series temporales:

Considere el proceso $$ y_t = 0.8y_{t-1} + 0.1y_{t-2} + u_t $$

1. ¿Es este proceso débilmente estacionario (yo respondería a esto con el triángulo de estabilidad)

2. ¿Bajo qué supuestos implica esta propiedad estacionariedad fuerte

Pensaba que la estacionariedad fuerte siempre implica estacionariedad débil, pero no que pueda ser al revés.

Answer 1

Sugerencia: considere lo que ocurre cuando hace más suposiciones sobre la distribución específica de los errores. Entonces podrás escribir las densidades condicionales exactas. Después de multiplicar unas cuantas, tendrá la densidad conjunta de todas las observaciones temporales, y la estacionariedad fuerte se ocupa de esta distribución conjunta.

Para su modelo: $$ p(y_1, y_2, \ldots , y_n) = \prod_{t=3}^n p(y_t \mid y_{t-1}, y_{t-2} ) p(y_1, y_2)\tag{1}. $$ Si se supone que los errores se distribuyen normalmente, entonces $$ p(y_t \mid y_{t-1}, y_{t-2} ) = N(.8 y_{t-1} +.1 y_{t-2}, \sigma^2). $$

Otra pista: Si esta distribución Normal conduce a una fuerte estacionariedad, entonces la distribución conjunta de todas las observaciones $\{y_t\}$ deben tener las medias, las varianzas y las (auto-)covarianzas correctas. Ordena todas esas autocovarianzas y varianzas en una matriz $\Gamma$ . Entonces su densidad conjunta debería ser $$ (2\pi)^{-n/2}(\det\Gamma)^{-1/2}\exp\left[-\frac{1}{2}\mathbf{y}_t'\Gamma^{-1}\mathbf{y}_t \right]. $$