Encontrar $x$ dado: $x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 16$

Question

Aquí está una ecuación:

$$x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 16$$

En primer lugar, me restan 16 de ambos lados y factorizada $x^2$, por lo que me gustaría obtener una ecuación cuadrática, pero sin éxito. También, puedo ver que la ecuación puede ser reescrita como:

$$(x+4)(x-4) + \left(\frac{3x}{x+3}\right)^2 = 0$$ Pero no puedo ver ¿cómo puedo utilizar esa información.

¿Qué debo hacer?

Answer 1

Puede reescribir como: \begin{align*} \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{3x}{4(x+3)}\right)^2 & = 1. \end{align*} Deje $\frac{x}{4}=\cos A$,$\frac{3x}{4(x+3)}=\sin A$. El uso de $x=4 \cos A$ en la expresión de $\sin A$, obtenemos \begin{align*} 12 (\cos A -\sin A) & = 8 \sin 2A\\ 9(\cos A -\sin A)^2 & = 4 \sin ^22A\\ 9(1-\sin 2A)&=4 \sin^2 2A. \end{align*} Ahora usted tiene una ecuación cuadrática en $\sin 2A$. Puede continuar a partir de aquí?

Comentario: (añadido) Este cuadrática da $\sin2A= -3$ o $\sin 2A=\frac{3}{4}$. El ex no puede suceder (para valores reales de $x$). La segunda tras la sustitución de nuevo en términos de $x$ da dos soluciones reales,$x=1\pm \sqrt{7}$.

Answer 2

Sugerencia:

Multiplicar por $(x+3)^2$,

$$x^2(x+3)^2+9x^2=16(x+3)^2$$

o

$$x^4+6x^3+2x^2-96x-144=0.$$

El uso de un solver, las raíces son irracionales, pero no es un racional de la factorización en dos polinomios cuadráticos.

Answer 3

$$(x+4)(x-4) + \left(\frac{3x}{x+3}\right)^2 = 0$$

multiplicar por $(x+3)^2$

$$(x+4)(x-4)(x+3)^2 + 9x^2 = 0$$ $$x^4+6x^3+2x^2-96x-144=0$$

$$(x^2-2x-6)(x^2+8x+24)=0$$

soluciones reales : $x=1\pm \sqrt{7}$

soluciones complejas : $x=-4\pm\iota 2\sqrt{2}$