Codense si y sólo si trunca Yoneda la inclusión es totalmente fiel

Question

Yo quiero probar un functor $F:\mathsf C\rightarrow \mathsf D$ es codense si y sólo si el trunca (doble) de los Yoneda la incrustación de $$\mathsf D^\text{op} \rightarrow [\mathsf D,\mathsf{Set}] \to [\mathsf C,\mathsf{Set}]$$ es totalmente fiel. (El derecho functor es la composición con $F$.)

Por definición, un functor $F$ es codense si cada objeto $d$ es el colimit de $F\circ \varphi_d$ donde $\varphi_d:\int \mathsf D(d,-)\cong d/F \rightarrow \mathsf C$ es el discreto opfibration asociados con $\mathsf D(d,-)$.

Puedo ver que por la densidad de la $h_d\cong \varprojlim\nolimits ^{\mathsf D(d,-)}\!F^\ast (h_d)$, pero no veo cómo utilizar esto para mostrar que el truncado de la incrustación es totalmente fiel. Pues parece que estamos buscando una inversa de la precomposición, también me gustaría saber si alguien señaló la relación exacta entre el Kan extensiones.

Answer 1

Por definición, un functor $G : C\to D$ es completa y fiel de la fib $C(c,c')\cong D(Gc,Gc')$.

De nuevo, por definición, un functor es codense iff $\text{Id}_D\cong \text{Ran}_FF$, es decir, iff $d\cong \int_c Fc^{D(d,Fc)}$ (coends, p. 16), de forma natural en $d\in D$.

Vamos a poner estas dos definiciones de conjunto para demostrar el resultado: la única suposición que yo necesito es que el $D$ admite arbitraria de productos.

$$ \begin{align} \text{Nat}(F^*{\bf y}(x), F^*{\bf y}(y)) &\cong \text{Nat}(D(x,F-),D(y,F-))\\ (1)&\cong \int_c {\bf Set}(D(x,Fc),D(y,Fc))\\ (2)&\cong \int_c D(y, Fc^{D(x,Fc)})\\ (3)&\cong D(y, \int_c Fc^{D(x,Fc)})\\ (4)&\cong D(y, \text{Ran}_FF(x))\\ (5)&\cong D(y,x) \end{align} $$ donde

1. es coends, 1.29;
2. Aquí es donde usted necesita arbitraria de los productos que existen en $D$, ya que el $Fc^{D(x, Fc)} \cong \prod_{f\in D(x, Fc)} Fc$;
3. es coends, 1.27
4. es coends, p. 16 (la descripción de un derecho Kan extensión como un fin)
5. sigue a partir de la suposición de que $Ran_FF\cong Id$ (véase también el $n$Laboratorio página sobre codense functor, o el capítulo dedicado a codensity mónadas en Dubuc "Kan extensiones en enriquecida categoría de teoría".

Saludos!