Probar que el grupo de Galois de $x^n-1$ es abelian sobre los racionales

Question

Si $p(x)=x^n-1$, probar que el grupo de Galois de $p(x)$ sobre el campo de los números racionales es abelian.

He aquí lo que tengo hasta ahora.

Indicar el grupo de Galois $G(K,\mathbb{Q})$ donde $K$ es la división de campo de $p(x)$$\mathbb{Q}$.

Mediante el establecimiento $x^n-1=0$, nos encontramos con la $n$th raíces de la unidad $\omega, \omega^2,\cdots,\omega^n=1$ donde $\omega=e^{2\pi i/n}$. Entonces, la división de campo de $K=\mathbb{Q}(\omega)$.

Por un teorema, $K$ es una extensión normal de $\mathbb{Q}$. Ahora queremos examinar $G(K,\mathbb{Q})=G(\mathbb{Q}(\omega),\mathbb{Q})$. Por definición, este es el grupo de automorfismos de a $\mathbb{Q}(\omega)$ que mantener a cada elemento de a $\mathbb{Q}$ fijo. En otras palabras, si $a\in \mathbb{Q}$, $\sigma(a)=a$ para todos los $\sigma\in G(\mathbb{Q}(\omega),\mathbb{Q})$.

Supongamos $\sigma,\tau \in G(\mathbb{Q}(\omega), \mathbb{Q})$. Sabemos que la estructura de grupo se da mediante la composición de automorfismos. Para demostrar que este grupo abelian, tenemos que mostrar que $(\sigma \circ \tau)(b)=(\tau \circ \sigma)(b)$ todos los $b\in \mathbb{Q}(\omega)$.

Sabemos que todos los elementos de a $\mathbb{Q}$ son fijos. Es decir, si $a\in\mathbb{Q}$,

$(\sigma\circ\tau)(a)=\sigma(\tau(a))=\sigma(a)=a$

$(\tau\circ\sigma)(a)=\tau(\sigma(a))=\tau(a)=a$

Ahora, considere la posibilidad de $\sigma(\omega)=\sigma(e^{2\pi i/n})$. Tenemos $(\sigma(e^{2\pi i/n}))^n=\sigma(e^{2\pi i})=\sigma(1)=1$. Esto implica que $\sigma(e^{2\pi i/n})=$ $n$th raíz de la unidad. Por lo tanto, $\sigma$ sólo permutes raíces de la unidad.

Esto es donde estoy confundido. Si el automorphism permutes raíces de la unidad, no parece ser necesariamente el caso de que $(\sigma\circ\tau)(\omega)=(\tau\circ\sigma)(\omega)$.

Por favor, hágamelo saber a dónde ir desde aquí (o donde me ha ido mal en mi argumento). Gracias.

Answer 1

Su argumento hasta el punto donde usted está atascado parece completamente correcto para mí.

Para terminar, supongo que $\sigma(\omega) = \omega^j$ y $\tau(\omega) = \omega^k$ algunos $j,k \in \mathbb{N}$. Entonces observar que $$ (\sigma \circ \tau)(\omega) = \sigma(\tau(\omega)) = \sigma(\omega^k) = \sigma(\omega)^k = (\omega^j)^k = \omega^{jk} $$ y del mismo modo $$ (\tau \circ \sigma)(\omega) = \tau(\sigma(\omega)) = \sigma(\omega^j) = \tau(\omega)^j = (\omega^k)^j = \omega^{jk} $$

Answer 2

Estás en lo correcto de que el grupo de todas las permutaciones de las raíces de la unidad no es abelian. Pero no todas las permutaciones dar realmente un campo automorphism.

El hecho importante es esto: una vez que usted sabe $\sigma(\omega)$, usted también sabe que $\sigma(\omega^2)$, $\sigma(\omega^3)$, etc.