Es un proyectivo (etc.) $G$ -también un módulo proyectivo $G'$ -¿Módulo?

Question

Estoy aprendiendo algo de cohomología de grupos de la tercera sección de la obra de Serre Campos locales y estoy hasta la sección de cambio de grupo. Si $f:G'\rightarrow G$ es un homomorfismo de grupos y $A$ es un $G$ -hay un módulo inducido $G'$ -estructura de módulo dada por $s'\cdot a=f(s')\cdot a$ , para $s'\in G'$ y $a\in A$ (esta es la notación de Serre, yo me reservaría $G'$ para el subgrupo conmutador, pero bueno). Esto induce ambos mapas en la cohomología $H^q(G,A)\rightarrow H^q(G',A)$ y la homología $H_q(G',A)\rightarrow H_q(G,A)$ .

Mi pregunta es: Si $A$ es un proyectivo/inyectivo/relativamente proyectivo/relativamente inyectivo $G$ -módulo, debe $A$ -como- $G'$ -sea un módulo de este tipo $G'$ -¿se trata de un módulo? Si no, ¿hay alguna suposición que podamos hacer sobre $f:G'\rightarrow G$ para que esto sea cierto (por ejemplo $f$ surjective)?

Answer 1

Si $f:G' \to G$ es inyectiva, esto es cierto en todos los casos: (relativamente) proyectiva/inyectiva. Identificar el $G$ -módulos con $\mathbb{Z}G$ -y observar que $\mathbb{Z}G$ es una libre (por lo tanto también proyectiva y plana) $\mathbb{Z}G'$ -(está libre como $\mathbb{Z}G'$ -módulo porque $\mathbb{Z}G \cong \bigoplus_{G/G'} \mathbb{Z}G'$ como $\mathbb{Z}G'$ -). Los funtores $\mathbb{Z}G \otimes_{G'} {-}$ (inducción) y $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}G'}{(\mathbb{Z}G,{-})}$ (co-inducción) son por lo tanto exactas y adyacentes a la izquierda/derecha de la restricción.

Comprobando las condiciones de elevación/extensión, es fácil ver que un adjunto izquierdo/derecho a un functor exacto preserva los projetivos/injetivos. Aquí "exacto" significa, por supuesto, "envía $\mathbb{Z}$ -Secuencias exactas divididas a $\mathbb{Z}$ -secuencias exactas divididas" en el caso relativo. Por ejemplo, si $L$ tiene un adjunto exacto a la derecha $R$ y $P$ es proyectiva entonces $LP$ es proyectiva porque un problema de elevación de un mapa $LP \to N$ sobre un epimorfismo $M \twoheadrightarrow N$ corresponde a un problema de elevación de un mapa $P \to RN$ sobre el morfismo $RM \twoheadrightarrow RN$ que es epi porque $R$ es exacta.

Sin embargo, si $f$ no es inyectiva, esto es erróneo en general. Basta con considerar el caso en el que $G = \{e\}$ es el grupo trivial. Ciertamente no es el caso que $\mathbb{Z}$ es (rel.) proyectiva o $\mathbb{Q}$ es (rel.) inyectiva como $\mathbb{Z}G'$ -(de lo contrario, la homología de grupo con $\mathbb{Z}$ -o cohomología de grupo con $\mathbb{Q}$ -Los coeficientes siempre tendrían que desaparecer).