Ayuda para resolver una integral.

Question

$$\int \frac{\sqrt{t+2}}{e^t}\,dt$$

He intentado la integración por partes, pero eso no me lleva a ninguna parte. Lo he escrito en Wolfram Alpha pero no sé mucho sobre la función erf, sólo sé lo que dice la página wikipedia.

¿Podría ayudarme a resolver este problema?

Answer 1

$$\int \sqrt{x+2}\ e^{-x} \ dx$$

Sea $t^{2} = x +2$ .

$$= \int t e^{-(t^{2}-2)} \ 2 t \ dt = 2 e^{2} \int t \left( t \ e^{-t^{2}} \right) \ dt$$

Ahora integre por partes dejando que $u = t$ y $dv = t e^{-t^{2}} \ dt$ .

$$= 2 e^{2} \left( - \frac{1}{2} t e^{-t^{2}} + \frac{1}{2} \int e^{-t^{2}} \ dt \right)$$

$$= 2e^{2} \left( - \frac{1}{2} t e^{-t^{2}} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(t) + C \right)$$

$$= 2e^{2} \left(- \frac{1}{2} \sqrt{x+2} \ e^{-(x+2)} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(\sqrt{x+2}) \right) + C$$

$$= -\sqrt{x+2} \ e^{-x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{2} \text{erf}(\sqrt{x+2}) + C$$

Answer 2

Hay una sustitución natural, $x^2=t+2$ . Entonces $dt=2x\,dx$ y terminamos con $$\int 2e^2 x^2 e^{-x^2}\,dx.$$ La integración por piezas es ahora algo natural. Podemos dejar que $u=e^2 x$ y $dv=2xe^{-x^2}\,dx$ . Descubrimos que podríamos calcular nuestra integral con precisión si pudiéramos encontrar una antiderivada de $e^{-x^2}$ .

Por desgracia, no hay función elemental cuya derivada es $e^{-x^2}$ . (Este hecho puede probado .) En es una función cuya derivada es $e^{-x^2}$ . Es fácil, por ejemplo, encontrar una serie infinita que represente una función de este tipo.

Sin embargo, ninguna combinación finita de las funciones estándar que vemos en los libros de cálculo elemental tiene derivada $e^{-x^2}$ .

Esto es bastante desafortunado. Deje que $$\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,dt.$$ Una antiderivada de $e^{-x^2}$ puede expresarse fácilmente en términos de $\Phi(x)$ . Y la función $\Phi(x)$ es extremadamente importante. Es la función de distribución acumulativa de la normal estándar distribución.

Porque $\Phi(x)$ no pueden expresarse en términos de funciones elementales, durante muchos años se ha tablas de $\Phi(x)$ para el rango importante, aproximadamente $x=0$ a $x=3$ . (Estas tablas tienen cada vez menos importancia, ya que un buen número de programas informáticos pueden calcularla).