Condiciones para $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ¿converger?

Question

Dada una secuencia $a_n \to 0$ . Estoy buscando una condición necesaria y suficiente para $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para converger.

Answer 1

En general, la forma $\lim _{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ convergerá si el límite de ésta es $<1$ . Si lo anterior se cumple, entonces escribe $a_{n+1}<a_n$ para cada índice $n$ . Esta es la definición de una función monotónicamente decreciente. Una condición necesaria sería que $a_n \neq 0.$ La disminución monótona sería una condición suficiente. Además, la no negatividad de la secuencia se deduce de $a_n\neq 0$ desde $a_n=0\Rightarrow a_{n+1}<0.$