Si un campo vectorial de Killing es semejante en el tiempo, ¿puede ajustarse a $\partial/\partial t$ ?

Question

Si uno tiene un vector de Killing que resultó ser un campo vectorial de Killing semejante al tiempo debido a la norma negativa. Podemos establecer este campo vectorial de Killing igual a $\partial/\partial t$ ?

Answer 1

@Phoenix87 da en el clavo, pero me explayaré un poco.

Definición 1 Un espaciotiempo $(M,g)$ es estacionario si existe un campo de Killing semejante en el tiempo $K$ es decir, un campo vectorial $K$ tal que $\langle K,K\rangle<0$ y $\mathcal{L}_Kg=0$ .

Demostraremos que la definición 1 implica la existencia de coordenadas locales para las que $g_{\mu\nu}$ es independiente del tiempo.

Elija una hipersuperficie similar al espacio $\Sigma$ de $M$ y considerar las curvas integrales de $K$ de paso $\Sigma$ . En $\Sigma$ elegimos coordenadas arbitrarias e introducimos coordenadas locales de $M$ como sigue: Si $p=\phi_t(p_0)$ donde $p_0\in\Sigma$ y $\phi_t$ es el flujo de $K$ entonces las coordenadas de Lagrange de $p$ son $(t,\vec{x}(p_0))$ . En términos de estas coordenadas, tenemos $$K=\frac{\partial}{\partial t}$$ y $\mathcal{L}_Kg=0$ implica $$\partial_tg_{\mu\nu}=0$$ Llamamos a estas coordenadas adaptado al campo Matar.

Answer 2

La idea aproximada: tomar el flujo local del campo vectorial y utilizarlo para obtener una nueva coordenada "tiempo". En general, esto funcionará localmente así que tienes que parche su colector con subconjuntos abiertos suficientemente pequeños en los que puede definir el nuevo conjunto de coordenadas en el que ahora el campo vectorial de Killing corresponde a $\partial_t$ .

Answer 3

Comentarios a la pregunta (v3):

1. Dada una variedad $M$ si un campo vectorial suave $X\in \Gamma(TM)$ no desaparece en un punto $p\in M$ entonces se puede elegir una vecindad de coordenadas local $U\subseteq M$ de $p$ con coordenadas locales $(x^1, \ldots, x^n)$ de modo que $X=\frac{\partial}{\partial x^1}$ . Este procedimiento se denomina a veces estratificación o enderezamiento de un campo vectorial. Es un caso especial de Teorema de Frobenius .

2. Un campo vectorial temporal $X$ no desaparece por definición, por lo que se puede estratificar localmente $X=\frac{\partial}{\partial x^1}$ cf. 1. Puesto que $X$ es temporal, se llamaría $x^1$ una coordenada horaria.

3. En Campo vectorial matador es irrelevante para la estratificación local.