Mostrar que $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} x_k=x $ si $\{x_n\} \to x$

Question

Si $\ \{x_n\}$ convergen a$x$: $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} x_k =x.$$

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Vamos a elegir un $\epsilon>0$, $\exists N_1\in \mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq N_1$ tenemos $|x_n-x|<\epsilon/2.$

\begin{array}{} \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} x_k-x &= \displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}-x\\ &=\displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n-nx}{n} \end{array} Permite tomar el valor absoluto: \begin{array}{} \left|\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} x_k-x \right| & =\left|\displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n-nx}{n} \right| \\ & =\left| \displaystyle\frac{(x_1-x)+(x_2-x)+...(x_n-x)}{n} \right| \\ & \leq \left| \displaystyle\frac{x_1-x}{n}\right|+...+\left|\displaystyle\frac{x_n-x}{n}\right| & by \ the \ triangle \ inequality.\\ & = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N_1-1} |x_k-x| + \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=N_1}^{n} |x_k-x| \\ & = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N_1-1} |x_k-x| + \displaystyle\frac{\epsilon}{2n}(n-N_1) & (\forall n\geq N_1: |x_n-x|<\epsilon/2.)\\ &\leq \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N_1-1} |x_k-x| + \displaystyle\frac{\epsilon}{2} \end{array}

Tomando el límite de la primera suma, obtenemos : $$\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N_1-1} |x_k-x| = 0.$$

De ello se desprende que $\exists N_2 \in \mathbb{N}$ tal que $n\geq N_2$ tenemos : $$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N_1-1} |x_k-x| < \displaystyle\frac{\epsilon}{2}.$$

Permite llevar a $N=\max\{N_1,N_2\}$ $\forall n\geq N$ $$\left|\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} x_k-x \right| \leq \displaystyle\frac{\epsilon}{2} +\displaystyle\frac{\epsilon}{2} = \epsilon. $$

Answer 1

Todo se ve bien hasta la segunda hasta la última línea. ¿Cómo conseguir este de la línea anterior?

Sugiero tratar el siguiente: dado $\varepsilon>0$, elija $N$ tal que $|x_n-x|<\varepsilon$$n>N$. A continuación, dividir los términos de $\frac{1}{n}|x_k-x|$ en dos grupos, correspondientes a$1\leq k\leq N$$N<k\leq n$.

En el primer grupo, no tenemos ningún control sobre el tamaño de $|x_k-x|$, pero sólo hay $N$ términos en el grupo y $\frac{1}{n}$ puede hacerse tan pequeña como queramos. En el segundo grupo, hay $n-N$ términos, cada uno de los cuales es de tamaño en la mayoría de las $\frac{\varepsilon}{n}$. Por lo tanto se pueden formar grupos pequeños por la elección de $n$ lo suficientemente grande.

Answer 2

Su segundo al último paso no procede de la anterior. Y usted tiene $n$'s tirando de una doble función, la cual es un poco confuso.

Pero creo que lo que realmente debemos decir es que sólo un número finito de $x_k, |x_k-x|>\epsilon/2$

$\forall \epsilon>0,\exists K>0$ tal que $k>K \implies |x_k - x| < \epsilon/2$

$|\sum_\limits{k=0}^K x_k-x| < M$
Elija $N > \max(K, 2M/\epsilon)$

Entonces:

$n>N\implies|\frac 1n \sum_\limits{k=0}^K x_k-x| <\epsilon/2$ $|\frac 1n \sum_\limits{k=K}^{n} x_k-x|< \epsilon/2$