$x^4 + x^2 + 1 = 0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Question

Necesito demostrar que la ecuación de $x^4 + x^2 + 1 = 0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$.

¿Cómo puedo probar esto?

Answer 1

$x^2$ $x^4$ son no negativos, por lo que $$1+x^2+x^4\ge1$$ para cualquier número real $x$.

Answer 2

Me gustaría resolver la ecuación. Tome $y=x^2$. Entonces la ecuación es $y^2+y+1=0$. Este es cuadrática y fáciles de resolver.

Answer 3

Fácil! Desde $x^4 \ge 0$ $x^2 \ge 0$ todos los $x \in \Bbb R$,$x^4 + x^2 \ge 0$, de donde $x^4 + x^2 + 1 > 0$, $\forall x \in \Bbb R$. No hay ceros en $\Bbb R$, no hay solución! QED!!!

Por supuesto, si permitimos $x \in \Bbb C$, tenemos una historia diferente por completo, lo que se dice en un lugar diferente.

Espero que esto ayude. Saludos!

Y como siempre,

Fiat Lux!!!