El dado ansatz incluye dos supuestos.
(1) aproximado de La tierra estados se buscaba en un subespacio del espacio de Hilbert que consiste en girar las versiones de un solo vector constante. (Este subespacio es un $2$-esfera parametrizadas por un vector unitario en $\mathbb{R}^3$
(2) El valor de la tirada de la proyección en la dirección del vector unitario es la mitad del número de vueltas.
La explicación es la siguiente:
Un sistema de $n$ distiguishable tiradas vidas en un espacio de Hilbert de dimensión $2^n$. Las características observables constituyen el conjunto de Hermitian $2^n \times 2^n$ matrices que generan $U(2^n)$. Sin embargo, el conjunto de características observables tiene otro reprersentation como el universal que envuelve el álgebra de $SU(2)$, que en el multipolo base que incluye: El giro total de los generadores:
$$S_x = \sum_{i=1}^n \sigma_x^{(i)}$$
$$S_- = \sum_{i=1}^n \sigma_-^{(i)}$$
$$S_+ = \sum_{i=1}^n \sigma_+^{(i)}$$.
El 5 de cuadrupolo operadores ($Q_0, Q_{\pm1}, Q_{\pm2})$ , por ejemplo
$$Q_0 = \frac{1}{2}(2S_z^2-S_-S_+)$$
etc.
Cuando el número de vueltas que se hace muy grande, las correlaciones se convierte en escala por los poderes de $\frac{1}{n}$ con respecto a la media de los valores y el sistema tenderá a comportarse de estilo clásico. Por favor, consulte la siguiente revisión por Yaffe para más detalles.
El límite clásico de la vuelta del sistema, sin embargo, no es única. Es un coadjoint órbita de la dinámica de grupo generado por el conjunto mínimo de operadores necesarios para distinguir entre los estados del sistema. Por ejemplo, si el sistema del spetrum encaja en una representación de $SU(2)$, en el límite clásico , el espacio de fase es un coadjoint órbita de $SU(2)$ que es la dos spher $S^2$. Este es el ejemplo que se da en la pregunta, en donde el activo subespacio de que el mínimo de la Hamiltoniana es que buscas es $S^2$ y la correspondiente a los estados que son rotadas versiones de algunos vectores. El quantum dynamics será idéntica a la clásica dinámica en $S^2$. En este caso, el único "activo" de los operadores son el total de los giros. Los valores de los desplazamientos del conjunto de estos operadores será la media de los campos. Todos los mayores multipolos será sólo funciones clásicas de la media de los campos.
Si, por otro lado, el cuadrupolo operadores están activos, la dinámica de grupo en este caso se convertirán en $SU(3)$ $3+5=8$ generadores y el clásico espacio de fase será un coadjoint órbita de $SU(3)$ que no es única por sí mismo y puede ser el complejo espacio proyectivo $\mathbb{C}P^2$ o la bandera del colector $Fl_3$. En estos casos, en general, el cuadrupolo generadores serán independientes del total de giros y, en general, recibirá correcciones cuánticas además de la clásica contribuciones.
En general, el bajo consumo de energía límite se prefiere más pequeños coadjoint órbitas desde entonces, el Hamiltoniano se incluyen menos cuántica corections. Además, los autores consideran un caso en el que el Hamiltoniano es lineal en el giro total de los generadores que excluye a la mayor coadjoint órbitas.
La segunda parte de la ansatz es justa, basada en el teorema del límite central. Podemos considerar un giro único componente en la dirección de la esfera de la unidad de vector como un clásico variable aleatoria porque es la única desplazamientos variable (clásica bits). Esta variable aleatoria tiene una media de $\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$ y la desviación estándar de $\frac{1}{\sqrt{2}}$. El promedio de $n$ independiente de la gira tendrá un promedio de $\frac{1}{2}$ y una desviación estándar de $\frac{1}{\sqrt{2n}}$. Por lo tanto, su valor en el gran $n$ límite se fija en $\frac{1}{2}$. Así, la media de una suma de $n$ giros fija en: $\frac{n}{2}$.
