¿Está abierto el plató?

Question

Definir un polinomio complejo $p:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$ donde $\deg p=n\in\mathbb{N}$ . \begin {Ecuación} p(z) = \alpha_ {n}z^{n}+ \alpha_ {n-1}z^{n-1}+ \dots + \alpha_ {1}z+ \alpha_ {0}, \quad \alpha_ {n} \neq0. \end {ecuación} Es el conjunto $\mathcal{S}=\{z\in\mathbb{C}:|p(z)|>R,\arg p(z) \in(a,b)\}$ , donde $0\leq a<b\leq2\pi$ y $R>0$ ¿Grandes, abiertas?

Answer 1

Sí, lo es. Incluso si permite $R=0$ . Eso es porque $\mathcal{S}$ es la preimagen del conjunto abierto $\{z\in \mathbb C\ \mid |z|>R, \arg(z)\in(a,b) \}$ bajo el polinomio continuo $p$ .

Recordemos que una función es continua si y sólo si la preimagen de todo conjunto abierto es abierta.