Rango de Influencia de la Ecuación de Onda?

Question

Supongamos $u$ es una solución de la dos-dimensional de la ecuación de onda $$u_{tt}-c^2 \Delta u=f(x)$$ con valores iniciales $u(0),u_t(0)$ que tienen soporte en el disco $x_1^2+x_2^2 \le 1$. ¿Hasta que hora se puede estar seguro de que $u=0$ en el punto de $(x_1,x_2)=(2,3)$?

Mi intento:

Yo creo que depende de el punto más alejado de $(2,3)$ en el disco, que es de $(-\frac{-2 \sqrt {13}}{13},-\frac{-3 \sqrt {13}}{13})$. A continuación, por el rango de influencia de la ecuación de onda, el tiempo debe ser $t=\frac{14+2\sqrt {13}}{c}$ donde $c$ es la constante de la ecuación de onda en dos dimensiones $u_{tt}-c^2 \Delta u=f(x)$, $14+2\sqrt {13}$ es la distancia de a$(2,3)$$(-\frac{-2 \sqrt {13}}{13},-\frac{-3 \sqrt {13}}{13})$.

Es ese derecho? Alguien puede ayudar? Muchas gracias!:)

Answer 1

Los valores iniciales en el punto en el círculo unitario más cercano a $(2,3)$ son las primeras que influyen en el valor de la función en este punto.

Debido a Evans Libro, el Capítulo 2.4.3, Teorema 6, sabemos que si $u$ es una solución para la ecuación de onda (con velocidad de $c$ normativa a 1 por el momento) y $u(0)\equiv u_t(0)\equiv 0$ sobre el balón $B(x_0,t_0)$, $u\equiv 0$ dentro del cono $$C=\{(x,t)\,|\,0\leq t\leq t_0,|x-x_0|\leq t_0-t\}.$$ Esto fácilmente se extiende para el caso de velocidad constante $c$ diferente a $1$ simplemente de escala, por lo que nuestra condición es $u(0)\equiv u_t(0)\equiv 0$ dentro $B(x_0,ct_0)$.

Lo que por lo tanto queda por hacer es calcular los $\operatorname{dist}(x_0,B(0,1))$,$x_0=(2,3)$: Ya que supongo que con el apoyo de $u(0),u_t(0)$ está dentro de la unidad de disco $B(0,1)$, el buscado $t_0$ está dado por $t_0=\operatorname{dist}(x_0,B(0,1))/c$.

Pero esta distancia es sólo la norma Euclídea menos el radio del círculo unidad, que es $$||x_0||=\sqrt{2^2+3^2}-1=\sqrt{13}-1.$$ This finally leads to $$t_0=\frac{\sqrt{13}-1}{c}.$$

Comentario: Con su enfoque en la manera de responder a una pregunta, que es: ¿Cuánto tiempo tengo que esperar, mientras que la medición en $x_0$ hasta que yo pueda estar seguro de que mis datos iniciales $u(0),u_t(0)$ se desvanecen. Tiene sin embargo una señal de error para el punto más lejano, que es en realidad $$x_\text{far}=\left(-\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\right).$$ I can't follow at all the second calculation, but the time (I call it $t_1$) debe ser $$t_1=\frac{\sqrt{13}+1}{c},$$ desde la distancia a $t_1$ es exactamente $2$ más grande que la distancia a $t_0$.

He descrito la situación en Wolfram alpha.