Encontrar el $\int_0^e \ln(x)\,dx =0$?

Question

Puedo obtener un $0$ en el área cuando sé que se supone que debe ser un valor positivo: $$\int_0^e \ln(x) \,dx $$ $$\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x = [e\ln(e) - e] - [0\ln(0) - 0] = [e - e] - [0] = 0$$ Cómo ¿qué hice mal? Sé el área real no puede ser igual a $0$.

Answer 1

¿Por qué no podría ser igual a $0$? Ha $\ln x < 0$$x\in(0,1)$, e $\ln x > 0$$x\in(1,e]$; por lo tanto, $$ \int_0^e \ln x \,dx = \underbrace{\int_0^1 \ln x \,dx}_{< 0} + \underbrace{\int_1^e \ln x \,dx}_{> 0} $$ y el hecho de que los dos términos cancelar no es una contradicción a la nada.

Answer 2

Su respuesta es correcta. Si usted piensa acerca de la función de registro, toma valores negativos para todos los argumentos menor que 1, por lo que el tipo de sentido. El principal error que ha cometido, sin embargo, estaba tomando el $\ln(0)$ que es el infinito negativo. Lo que usted necesita para pensar en tener un límite como $x\to0$, a ver si eso ayuda.