Me voy a poner esto como una respuesta, porque yo no puede encajar en la sección de comentarios.
La comprensión de la definición de la $k^{\text{th}}$ simétrica de energía es probablemente más importante en este punto que la comprensión de la teoría de la representación. Por lo tanto, voy a tratar de abordar la definición de la simétrica poderes y una vez que se han tomado que yo u otro miembro le ayudará con la teoría de la representación.
Voy a tratar de dar una visión rápida, pero sugerimos que eche un vistazo a un libro como Dummit y Foote. Básicamente la idea del álgebra simétrica $V$ es construir una especie de "polinomio ring", donde uno incorpora la preexistente estructura de espacio vectorial de $V$.
Exactamente cómo se debe hacer esto? En general hay tres maneras, todas las cuales coinciden ya que estamos (por mi propia elección) tratamiento de las $K$-espacios vectoriales donde $K$ es de característica cero (si no sabes lo que esto significa, simplemente tome $K=\mathbb{C}$).
Voy a tratar de explicar el uno que es el más común como de baja tecnología, como es posible, si no me ayuda, o de otro miembro, puede intentar un enfoque diferente.
Esta explicación requiere que usted entienda el tensor de álgebra del espacio vectorial $V$.
Ok, así que para construir el tensor de álgebra en $V$ uno define el $T^k(V)=V^{\otimes k}$, por convención, $T^0(V)=K$. Cuando, a continuación, define el espacio vectorial $T(V)$$\displaystyle \bigoplus_{k\geqslant 0}T^k(V)$. Así un elemento de $T(V)$ será algo parecido a $v_1\otimes v_2+3(w_1\otimes w_2\otimes w_3\otimes w_4)+\alpha$ donde $\alpha\in K$ (en otras palabras, sólo pensar en ello como formal sumas de los tensores de diferentes grados). Este ya tiene predefinidas una estructura de espacio vectorial-acabamos formalmente añadir cosas, y nos multiplicar una suma por un escalar por simplemente multiplicar cada término de la suma (esto tendrá más riguroso de puesta a tierra si se piensa en el tensor de álgebra como la suma directa de lo indicado). Entonces la pregunta ahora es cómo se define el producto (por esto es deseable). Se puede definir el producto de dos tensores (de cualquier grado) en $T(V)$ 'concatenación' es decir, tomamos un elemento de $T^k(V)$ y un elemento $T^\ell(V)$ y multiplicar para obtener un elemento de $T^{k+\ell}(V)$
$$(v_1\otimes\cdots\otimes v_k)\cdot(w_1\otimes\cdots\otimes w_\ell)=v_1\otimes\cdots\otimes v_k\otimes w_1\otimes\cdots\otimes w_\ell$$
Esta completamente formalidad en la multiplicación, la incapacidad para simplificar, es lo que hace que el tensor de álgebra de manera "general".
Ok, ahora que tenemos la estructura del anillo en $T(V)$ podemos hablar de ideales y el cociente resultante de los anillos. Pero, al acecho en el fondo no es más que una estructura de anillo. De hecho, tenemos una "clasificación" de $T(V)$. Piense en ello como polinomios--para cada una de las $k$ tenemos la sensación de que los elementos de la "gradación" $k$ es decir, los elementos de $T^k(V)$ que se suma simple de los tensores de la longitud de la $k$. Esto es importante porque es donde el $k$ $S^k(V)$ vendrá de. Ok, entonces, ¿qué hace esta clasificación tiene que ver con los ideales? Así, podemos tomar el conjunto de todos los elementos de la $X=\left\{v\otimes w-w\otimes v:v,w\in V\right\}\subseteq T^2(V)$ y considerar el ideal de $I=\langle X\rangle$ (el ideal generado por a $X$). Cómo la clasificación juega en esto es que (como dejo a usted a comprobar) $\displaystyle I=\sum_{k}I_k$ donde $I_k=I\cap T^k(V)$. Por lo tanto, el ideal en sí tiene un natural de clasificación. Por lo tanto, cuando nos tomamos el cociente de álgebra (anillo/espacio vectorial) $T(V)/I\overset{\text{def.}}{=}$, se debe esperar que se tiene una clasificación de su propio. De hecho, uno puede comprobar que $T(V)/I$ es, naturalmente, calificada como
$$T(V)/I=\bigoplus_k T^k(V)/I_k$$
A continuación definimos $S^k(V)$ a ser igual a este $T^k(V)/I_k$.
Así que, ¿qué significa exactamente $S(V)$, y más pertinentemente, $S^k(V)$? Así, por quotienting $T(V)$ $I$ lo que realmente hizo fue tomar una multiplicación de que estaba totalmente libre de las relaciones (no simplificaciones pueden hacer) y lo convirtió en un ring donde la multiplicación es casi libre de las relaciones -, pero ahora necesitamos que la multiplicación es conmutativa. Así, por ejemplo, donde previamente se $v_1\otimes v_2\otimes v_3\ne v_2\otimes v_1\otimes v_3$ (en general) ahora debe mantener (para ver por qué esto es "multiplicativo" piense en ello como $v_1\cdot v_2\cdot v_3=v_2\cdot v_1\cdot v_3$ con nuestros concatenación de multiplicación). Ok, está bien, así que eso es lo $S(V)$ parece, sólo se ve como $T(V)$ donde ahora la multiplicación es conmutativa (un polinomio anillo de más de $V$, en un sentido)--pero, ¿qué $S^k(V)$? Así, intuitivamente todo lo que hicimos por limitarnos a $S^k$ fue a fuerza de conmutatividad en $T^k(V)$ (donde pedagógicamente es útil pensar en que, de nuevo, $v_1\otimes\cdots\otimes v_k=v_1\cdots v_k$). Por supuesto, la realidad nos fuerza conmutatividad es que ahora tenemos que pensar de $v_1\otimes\cdots\otimes v_k$ (o de las cantidades de simple los tensores de la longitud de la $k$) s cosets $\overline{v_1\otimes\cdots\otimes v_k}$ donde podemos simplificar los tensores mediante la reorganización de ellos de cualquier manera queremos-que, por supuesto, se manifiesta de forma explícita las relaciones como $\overline{v_1\otimes\cdots\otimes v_k}=\overline{v_2\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_k}$.
Espero que tenía sentido, era difícil seguir la pista de todo!
