Cuales son los problemas matemáticos en la no-estándar de análisis? (Si alguno)

Question

Me gustaría aprender no estándar de análisis de, al menos, los fundamentos de la misma. Voy a hacer uso de este libro: Primaria Cálculo: Un Infinitesimal de Enfoque (Dover Libros sobre Matemáticas), por H. Jerome Keisler. Antes que cualquier otra cosa, por favor, déjame tomar algunos enlaces que NO tienen una completamente desarrolladas respuesta a mi pregunta, al menos para mí.

Aquí están los enlaces:

El contenido de este enlaceEs no-estándar de análisis que vale la pena aprender?' más o menos se analiza el uso de estudio de la no-estándar de análisis. El contenido de este enlace en su mayoría se refiere a la relación que se analiza el uso de estudio de la no-estándar de análisis, 'Es no-estándar de análisis que vale la pena aprender?'. Este y este no responde a mi pregunta.

Los problemas con las respuestas a la pregunta de arriba, es que a pesar de que puede rayar en la superficie y a la hora de tomar las desventajas de la no-estándar de análisis, NO puramente hablar de las desventajas o/y matemática desventajas de la no-estándar de análisis.

'¿Cuáles son las desventajas de la no-estándar de análisis?' no rigurosamente respuesta que quiero una respuesta. Por ejemplo, permítanme citar esta respuesta:

Creo que hay un número de razones:

Las primeras reseñas de Robinson papeles y Keisler del libro de texto fueron realizadas por una prejuicios individuales, por lo que la mayoría de maduro matemáticos tuvo un mal la primera impresión de él. Parece tener un montón de desagradables teoría de conjuntos y el modelo de la teoría. Empezar a hablar acerca de nonprincipal ultrafilters y ver los analistas de los ojos se ponen vidriosos. (Por supuesto, esto es una tontería: el la construcción de la hyperreals y la transferencia de principio es como importante de la NSA, como la construcción de los reales es real para el análisis, y sabemos cuánto amor de la gente que forma parte de su primer análisis curso). Hay un importante conjunto de la opinión de que, debido a la NSA y análisis estándar son equivalentes, no hay ningún punto en el aprendizaje de la ex. A menudo, los límites creado con la NSA argumentos son mucho más débiles que el estándar de análisis de los límites. Ver a Terry Tao de la discusión aquí. Muchas de los matemáticos están siendo perjudicados por la historia y la cultura a instintivamente pensar que todo lo infinitesimal está en algún lugar entre falso y en realidad pecaminosa, y es mejor dejar a los ingenieros y los físicos. Como Stefan Perko menciona en los comentarios, hay un número de otros infinitesimal enfoques: suave infinitesimals, nilpotents, sintético la geometría diferencial, . . . ninguno de estos es un destacado candidato para de reemplazo. No es un ampliamente objeto estudiado, por lo que se utiliza en los papeles los límites de la audiencia de su trabajo. La mayoría de estas razones son las habituales acerca de inercia: a menos que un cambio de enfoque radical a un sujeto que se muestra a tienen claras ventajas sobre la frecuente, el cambio es visto como más problemas de lo que vale. Y al final del día, la matemática ha de ser enseñado por los más altos matemáticos, por lo que son los que tienden a determinar el plan de estudios.

Este es un buen comienzo de una respuesta a la pregunta que le estoy pidiendo. Lo que me estoy perdiendo en la respuesta que has visto, son si no existe ningún matemático de los problemas de la no-estándar de análisis. Lo hace, y si es así, ¿cuál?

Una vez leí en este foro, en un lugar que yo realmente no puedo recordar - que allí existe algunos problemas matemáticos en la no-estándar de análisis. Al menos algunas de las ideas o conceptos que no se, si recuerdo correctamente, simpático. La palabra amable hacia los puntos de al menos uno de los prejuicios. Pero es un prejuicio?

Por favor me ayudan a entender si hay problemas de matemáticas/ problemas en ciertos conceptos de la no-estándar de análisis.

Answer 1

No estoy del todo seguro de lo que estás preguntando, pero déjame tomar una puñalada en ella:

Primero de todo, no hay nada estándar de análisis puede hacer que no estándar de análisis no puede. Un no estándar analista siempre puede decidir sólo el estudio de la norma hyperreals, y esto correspondería a la estándar de análisis. (Lo contrario también es cierto, pero trivial.) Así que usted no encontrará un problema de matemática en un sentido profundo; en cualquier momento que el enfoque no estándar es menos útil que la estándar, no estándar analista siempre se puede simplemente utilizar el método estándar, en el interior de análisis no estándar.

Dicho esto, hay funciones matemáticas de la hyperreals que (en mi opinión) a menos que ideal. Topológicamente, que son feos: hay varias natural de las topologías de poner sobre ellos, y todos ellos tienen impar características (ver aquí). Y me gustaría considerar la presencia de un montón de automorfismos a ser una característica negativa - es decir, que si alguien le pide un ejemplo de un infinitesimal, que realmente no puede dar una respuesta satisfactoria; sin embargo, esto posiblemente refleja mi propio estándar sesgo.

Sospecho que también hay propiedades algebraicas de los reales que el hyperreals falta, aunque por el momento no puedo pensar en nada (en mi ejemplo anterior era incorrecto y tonto).

Básicamente, creo que la conclusión es esta:

• De nada un estándar analista puede hacer, un no estándar analista también puede hacer - a veces más fácilmente. (Aunque a mi entender, es que el aumento en la facilidad rápidamente se cae una vez que uno está cómodo con el estándar de análisis. Existen algunas excepciones, sin embargo: los subespacios invariantes problema originalmente fue resuelto a través de análisis no estándar, y creo que hay algunos anormales de las pruebas de esotérico resultados para los cuales no hay pruebas de que a través de análisis estándar que se conoce actualmente, aunque sabemos que tal prueba debe existir).

• Dicho esto, el hyperreal campo es mucho más bonito objeto de $\mathbb{R}$: el precio de tener un buen infinitesimal de la estructura es que nos perdemos buenas propiedades en otros lugares. Y carece - en mi opinión - la compellingness de la estructura de $\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que esta objeción es completamente ajena a la cuestión de si el análisis no estándar y el hyperreals son útiles: algo no tiene que ser filosóficamente convincente a ser una buena herramienta. En realidad creo que hay una muy interesante filosófica fenómeno aquí: me parece que el hyperreals completamente uncompelling, pero el lenguaje y las técnicas de análisis no estándar a ser muy convincente! El tema es de alguna manera más convincente para mí que el tema de la materia. Ni idea de lo que dice acerca de mí.

• Creo que hay muy buenas razones para aprender estándar de análisis, pero no de los buenos, además de las preferencias personales y las limitaciones de tiempo para no aprender no estándar de análisis. Yo diría que para la mayoría de los matemáticos, el aprendizaje no estándar de análisis no necesariamente será un buen uso del tiempo (una combinación de impopularidad y - sospecho - un bajo beneficio a sus ya existentes, a los intereses de la investigación), pero las razones para ello son, al menos en gran parte sociológica, y no es inherente a la materia.

Answer 2

Acerca de la simpatía cuestión planteada en la pregunta: de hecho, A. Robinson versión original de la no-estándar de análisis (que no es muy necesario seguir J. Keisler del tratamiento del cálculo!) no requiere de la comprensión de un poco de modelo de la teoría. En contraste, E. Nelson "IST" versión es una versión más amigable (ver A. Robert, muy poco agradable libro de introducción y/o Nelson ensayo), que ha logrado paquete de más de Robinson cosas de una manera que no requiere de la interacción frecuente con (o entender) el modelo de la teoría. (Sin embargo, tengo entendido que hay algunas posibilidades en Robinson versión que no están plenamente representados en Nelson).

No he utilizado la no-estándar de análisis "en la investigación", en lugar de hallazgo de que la L. Schwartz noción de "distribución generalizada de la función", como se expandió por A. Grothendieck obra temprana, y Gelfand-Graev-et al, es la adecuada (por el momento) para mis propósitos (y en mi contexto, obviamente). Sin embargo, no estándar de análisis es muy interesante, a mí por lo menos por dos razones. En primer lugar, aproximadamente muestra (en un revisionista y anacrónico manera, por supuesto) que L. Euler y A. Cauchy del uso de "infinitesimals" puede convertirse en un completamente legítimo argumento (en contraste con varios ingenuos despidos que a menudo afirman que epsilon-delta argumentos son la única forma legítima de hacer el análisis). Segundo, la no-estándar de análisis parece mejor la captura de ciertas intuiciones acerca de las "órdenes de magnitud" que son un poco torpe para formular epsilon-delta-sabio... No se que es imposible para la captura de ellos, pero que requiere de un a priori de la comprensión de que sólo podría ser alcanzado por el pensamiento de la no-estándar de términos. No es que no me he hecho nada de esto mismo, solo que tengo una vaga sensación en esta dirección. De nuevo, Robert A. el libro da el encantador ejemplo de canards.