La pregunta es :
Probar que el polinomio $p(x)=x^4-4x^2+8x+2$ es irreducible sobre el cuadrática campo $F=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$. [Sugerencia : use primero el método de la proposición $11$ para la U. F. D $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$(cf.Ejercicio $8$ Sección $8.1$) para mostrar que si $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es una raíz de $p(x)$ $\alpha$ es un divisor de a$2$$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ . A la conclusión de que $\alpha$ debe $\pm 1,\pm \sqrt{-2}$ o $\pm 2$ y, por tanto, mostrar que $p(x)$ no lineal factor de $F$. Mostrar del mismo modo que $p(x)$ no es el producto de la cuadráticas con coeficientes en $F$.]
Lo que he hecho hasta ahora es :
Supongamos $\alpha \in\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es una raíz de $p(x)=x^4-4x^2+8x+2$ entonces tendríamos :
$p(\alpha)=\alpha^4-4\alpha^2+8\alpha+2=0\Rightarrow 2=\alpha(-\alpha^3+4\alpha-8)$
es decir, $\alpha$ es un divisor de a$2$$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
así, he utilizado el método de la proposición $11$ para la U. F. D $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$(cf.Ejercicio $8$ Sección $8.1$) para mostrar que si $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es una raíz de $p(x)$ $\alpha$ es un divisor de a $2$ $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$
Yo no entiendo por qué no mencionó que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es U. F. D y todo... yo no uso de eso en absoluto... es innecesariamente confuso mí o yo soy innecesariamente se confundan.. sugerencia es realmente engañosa de mí :(
Ahora, tengo que demostrar que $\alpha$ debe $\pm 1,\pm \sqrt{-2}$ o $\pm 2$
es decir, supongamos que tengo $2=ab$$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, $N(2)=N(ab)\Rightarrow 4=N(a)N(b)$
es decir,$N(a)=1\text{ or }2\text{ or } 4$ es decir, $p^2+2q^2=1\text{ or }2\text{ or } 4$ $a=p+\sqrt{-2}q$
$p^2+2q^2=1\Rightarrow p=\pm 1 \Rightarrow a=\pm 1$
$p^2+2q^2=2\Rightarrow q=\pm 1\Rightarrow a=\pm\sqrt{-2}$
$p^2+2q^2=4\Rightarrow p=\pm 2\Rightarrow a=\pm 2$
Una vez que demostrar que esos son los únicos divisores entonces yo consideraría que :
- $p(1)=(1)^4-4(1)^2+8(1)+2\neq 0$
$p(-1)=(-1)^4-4(-1)^2+8(-1)+2\neq 0$
$p(\sqrt{-2})=(\sqrt{-2})^4-4(\sqrt{-2})^2+8(\sqrt{-2})+2\neq 0$
$p(-\sqrt{-2})=(-\sqrt{-2})^4-4(-\sqrt{-2})^2+8(-\sqrt{-2})+2\neq 0$
$p(2)=(2)^4-4(2)^2+8(2)+2\neq 0$
$p(-2)=(-2)^4-4(-2)^2+8(-2)+2\neq 0$
Así que, no divisor de $2$ es una raíz..
Por lo tanto $p(x)$ no tiene una raíz en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$
supongamos que tengo algo así como :
$$x^4-4x^2+8x+2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd$$
Pero entonces, $bd=2\Rightarrow \text { b,d are a divisors of 2 in $\mathbb{Z}\sqrt{-2}$}$
Pero luego hemos visto que los únicos divisores de $2$ $\mathbb{Z}\sqrt{-2}$ $\pm 1,\pm \sqrt{-2}$ o $\pm 2$
Así, sólo las posibilidades son
$x^4-4x^2+8x+2=(x^2+ax\pm 1)(x^2+cx\mp 2)$
$x^4-4x^2+8x+2=(x^2+ax\pm \sqrt{-2})(x^2+cx\mp \sqrt{-2})$
Pero estos no son posibles...
Esto solo indica que $p(x)$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ pero entonces, ¿cómo puedo mostrar esto es irreducible en a $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ me esperaba lema de gauss para ayudar, pero sólo funciona para los números enteros y racionales...
Así que, por favor, ayúdame a claro esta..
Gracias...
P. S : la Proposición $11$ es Racional teorema de la raíz y el Ejercicio $8$ es que el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ es un dominio Euclídeo.
