Tiempo de ordenar el operador y la derivada con respecto al tiempo

Question

En el libro la teoría del campo Cuántico y el modelo estándar de Schwartz, está escrito en la página 87 algunos de los resultados de utilizar el tiempo de pedido del operador.

Tenemos los siguientes operadores:

$$U(t,t_0)=T \exp\biggl(-\mathrm i \int_{t_0}^t V_I(u)\, \mathrm{d}u\biggr)$$

Se dice de las siguientes cosas:

7.2.2 $U$ relaciones

Es conveniente abreviar $U$ con $$U_{21} \equiv U(t_2, t_1) = T\biggl\{\exp\biggl[-t\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t'\,V_I(t')\biggr]\biggr\}.\tag{7.46}$$ Recuerde que en la teoría de campo siempre tenemos tiempos posteriores a la izquierda. De ello se sigue que $$\begin{align} U_{21}U_{12} &= 1, \tag{7.47} \\ U_{21}^{-1} = U_{21}^{\dagger} &= U_{12} \tag{7.48} \end{align}$$ y para $t_1 < t_2 < t_3$ $$U_{32} U_{21} = U_{31}. \tag{7.49}$$ Multiplicando esto por $U_{12}$ a la derecha, nos encontramos con $$U_{31}U_{12} = U_{32}, \tag{7.50}$$

Ok, no entiendo su "prueba" de (7.47) y (7.49).

Recuerde que en la teoría de campo siempre tenemos tiempos posteriores a la izquierda. De ello se sigue que:

Es realmente una prueba de las siguientes ecuaciones? No lo entiendo.

También, para demostrar que yo iba a escribir la exponencial en la serie y la razón de la orden por el orden, pero hay una manera mejor para demostrarlo? Porque realmente no es inmediata (no sé si es posible encontrar una buena manera de demostrarlo).

Answer 1

Una forma muy intuitiva a pensar sobre el tiempo-ordenó exponencial es $$U_{ba} = T \exp\left(-\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_2) \Delta t}\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} .$$ Esto es válido para $b \geq a$. $\Delta t$ es igual a $\frac{b-a}N$$t_k = a + k\Delta t$. (No estoy seguro si esta es la forma en que se define en el libro de Schwartz, pero tiene sentido que esto daría a la expresión correcta para el propagador.)

Su (7.49) ahora es inmediatamente obvio (para los Físicos ;)). Para obtener (7.47), tenemos que entender que en $U_{ab}$ ( $b \geq a$ ) de los últimos tiempos son, en realidad, no en la izquierda. En su lugar, $$U_{ab} = \bar T \exp\left(-\mathrm i \int_b^a V(t) \, \mathrm dt \right) = \bar T \exp\left(\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} .$$ Aquí, $\bar T$ es el anti-tiempo-de pedido. Inmediatamente verá $U_{ab} = U_{ba}^\dagger = U_{ba}^{-1}$. Véase, por ejemplo aquí.

Answer 2

El tiempo de evolución de operador en la interacción de la imagen puede ser escrita como: $$U(t,t_{0})=e^{iH_{0}t}e^{-iH(t-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ El uso de este se puede escribir: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{2})}e^{-iH_{0}t_{2}}e^{iH_{0}t_{2}}e^{-iH(t_{2}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Así: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=U(t_{1},t_{0})$$

De Tomonaga-Schwinger ecuación: $$i\partial_{t}U(t,t_{0})=H_{I}(t)U(t,t_{0})$$ Podemos escribir el tiempo de evolución operador usando la condición inicial $U(t_{0},t_{0})=1$: $$U(t,t_{0})=1-i\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})U(t_{1},t_{0})$$ Por iteración, se obtiene que: $$U(t,t_{0})=1+(-i)\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})+(-i)^2\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})+(-i)^3\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int_{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})H_{I}(t_{3})+\dots$$ es decir, $$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}(-i)^n\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})$$

$$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\mathcal{T}\left(H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})\right)$$ $$U(t,t_{0})=\mathcal{T}\exp\left(-i\int_{t_{0}}^{t}dt'H_{I}(t')\right)$$

Answer 3

Schwartz es ser descuidado. Recordar que el tiempo de operación de ordenación es singular, coincidiendo en el espacio-tiempo puntos, por lo que sus manipulaciones son, estrictamente hablando, lejos de ser justificado. Su escepticismo no es inesperado. Pero sus ecuaciones son correctas de todos modos, a pesar de su mano-ondulado de la prueba.

Un poco más convincente el razonamiento es como sigue:

Escribir $H=H_0+V$, y vamos a $$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\tag1$$

Ahora es trivial demostrar que $U(t,t_0)$ satisface el problema de valor inicial como $$\mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag2$$ y por lo tanto se acepta como operadores, $$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\equiv \mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag3$$

A partir de la representación de $(1)$ usted debe ser capaz de demostrar los resultados declarados por Schwartz, sin la necesidad de manipular ordenados en el tiempo de los objetos. Esto debería permitir que usted para demostrar sus afirmaciones con algo más de rigor y confianza. Dejo esto para usted.

Leer más: la mayoría de lo que usted quiere saber es analizado en el ejercicio 9.5 en Srednicki del libro en QFT. Usted puede encontrar el detallado trabajado solución en línea.