No tengo a Moschovakis a mano, pero si no recuerdo mal está trabajando en (esencialmente) un teoría de conjuntos con ureles (EDIT: también llamado átomos ); se trata de una teoría de conjuntos en la que no todo es un conjunto, pero en su lugar tenemos una colección de "urelementos" que pueden ser elementos de conjuntos pero no son ellos mismos conjuntos.
- En cierto sentido, en un modelo de teoría de conjuntos con ureles construimos un universo teórico de conjuntos sobre la colección de ureles. Aquí hay mucha libertad (por ejemplo, ¿debería haber un "conjunto de todos los ureles"?). La teoría de conjuntos habitual ZFC (y ZF) hace no permiten los ureles. Sin embargo, podemos elaborar un "ZF(C) con urelementos" sin mayor dificultad. A la inversa, la teoría de conjuntos con ureles no es muy diferente (en la mayoría de los contextos, de todos modos) de la teoría de conjuntos sin ureles, así que no se pierde mucho por omitirlos.
En una teoría de conjuntos con ureles, podemos tener un conjunto algunos de cuyos elementos son conjuntos y otros no. Por ejemplo, supongamos que $a$ y $b$ son ureles. Entonces $$\mathcal{E}=\{a, \{b\}, \{\{a,b\}\}, \{\{\}\},\{\}\}$$ es un conjunto perfectamente válido. La construcción de la unión puede aplicarse a un conjunto de este tipo $\mathcal{E}$ , dando $$\bigcup\mathcal{E}=\{b, \{a,b\}, \{\}\}.$$ Tenga en cuenta que el elemento $a$ de $\mathcal{E}$ no aporta nada a $\bigcup\mathcal{E}$ Por definición $\bigcup\mathcal{E}$ es el conjunto de todos los elementos de los elementos de $\mathcal{E}$ y $a$ - mientras que un elemento de $\mathcal{E}$ - no tiene elementos propios. Más trivialmente, " $\{\}$ "es un elemento de $\mathcal{E}$ que no aporta nada al sindicato.
- Obsérvese que aquí no se "teclea": aunque $a$ es un urelemento, una expresión como " $t\in a$ " tiene perfecto sentido gramatical (sólo es falso).
Tenga en cuenta que si $\mathcal{E}$ es un conjunto cualquiera, entonces $\bigcup\mathcal{E}=\bigcup\mathcal{E}'$ donde $\mathcal{E}'$ es el subconjunto de $\mathcal{E}$ obtenida eliminando todos los ureles (= todos los no-conjuntos); así que no hay ninguna razón real para considerar la toma de la unión de un conjunto que no es una familia de conjuntos. Y en cualquier teoría de conjuntos razonable con ureles, ser un urelemento es una definible (para que podamos formar $\mathcal{E}'$ de $\mathcal{E}$ mediante el axioma de separación/subconjunto). Hay dos maneras obvias de garantizar esto:
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Podríamos tener un predicado que nombrara los ureles.
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Podríamos tener un símbolo constante $\emptyset$ nombrando el conjunto vacío; entonces un objeto $x$ de nuestro universo es un urelemento si $x\not=\emptyset\wedge\forall y(y\not\in x)$ .
Tenga en cuenta que, en última instancia, son equivalentes.
