Cómo obtener la inversa de esta matriz utilizando la menor cantidad de espacio?

Question

Estoy trabajando en un problema a partir de un pasado en el examen y estoy atascado, así que estoy pidiendo ayuda. Aquí es: $A = \frac12 \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]$ find $\mathbf A^{-1}$.

Mi problema no es la inversa de la matriz a sí mismo. Nos acaba de obtener el determinante, a ver si es cero o no, obtener la adjuntos de la matriz y se divide por el factor determinante.

Mi problema es el espacio. Como se puede ver, es una matriz de 4x4 en el sentido de que tendría que hacer 4x4 3x3 determinantes para obtener el medico adjunto de la matriz plus 2 3x3 determinantes para obtener el determinante de la matriz. Ahora tenemos un A3 trozo de papel para 6 problemas. Los problemas están impresos en un lado y el otro lado está en blanco. Esto y el hecho de que la matriz inversa es $a = \frac12 \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]$

me llevó a creer que hay algunas capturas que no veo. Alguna idea de lo que podría ser?

También si alguien puede editar estas matrices en MATLAB formato en algo que este sitio va a analizar sería genial!

EDITAR por Desgracia, parece que el código TeX para matrices no funciona aquí. Aquí está la matriz en MATLAB forma, si alguien quiere que Un=(1/2)*[1,1,1,1;1,1,-1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1];

EDIT 2 Respuesta por Jack Schmidt contiene el código de matrices.

Answer 1

Supongo que a es ortogonal y simétrico, por lo que te dice Un^-1 = A^T = A, pero eh, que no es una situación muy común para mi mente. Tal vez alguien tiene una mejor "prueba de la toma de la estrategia de" explicación, pero a mí, personalmente, me daría fila reducir o cualquiera que sea el método que use en general.

Ortogonal de la matriz se define una matriz cuya transposición es su inversa. Sin embargo, para nosotros el mejor (casi) definición es una matriz cuyas filas (o columnas) son ortogonales, como en la perpendicular. Para (1,1,1,1) es ortogonal a (1,-1,1,-1), ya que su producto escalar es (1)(1)+(1)(-1)+(1)(1)+(1)(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 es cero. Usted también debe verificar que la longitud del vector en cada fila es 1 $\sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2} = 1$ tan bueno, pero incluso si no, esa parte es fácil de arreglar.

A veces se puede saber por la apariencia que una matriz es ortogonal.

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Tan lejos como el análisis de va:

Aquí es la matriz:

$A = \frac12 \begin{pmatrix}
1 &  1 &  1 &  1 \\\\
1 &  1 & -1 & -1 \\\\
1 & -1 &  1 & -1 \\\\
1 & -1 & -1 &  1
\end{pmatrix}$

$A = \frac12 \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$

Aquí es utilizar el entorno de la matriz:

$A = \frac12 \left(\begin{array}{rrrr}
1 &  1 &  1 &  1 \\\\
1 &  1 & -1 & -1 \\\\
1 & -1 &  1 & -1 \\\\
1 & -1 & -1 &  1
\end{array}\right)$

$A = \frac12 \left(\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}\right)$

Las barras diagonales inversas comidos por la reducción del software, de manera que sólo el doble de ellos.

Answer 2

Si usted tiene un $n\times n$ matriz $A$ , la inversa de la matriz $A^{-1}$ puede ser se calcula mediante un compacto método, que consiste en los siguientes pasos:

1. Aumentar su matriz con la matriz de identidad $I$: $\left( A|I\right) $

2. El uso de eliminación Gaussiana para obtener una triangular superior de la matriz a la izquierda y una matriz de $J$ de la derecha: $\left( U|J\right) $, donde $J=\left( J_{1}|J_{2}|\ldots |J_{n}\right) $.

3. Para obtener el $n$ vector de columnas de la matriz inversa: $A^{-1}=\left( x_{1}|x_{2}|\ldots |x_{n}\right) $, solve for $x_{k}$, with $k=1,2,\ldots ,n$, $n$ systems of equations $U\cdot x_{k}=J_{k}$.

Nota 1: en el problema a $n=4$.

Nota 2: hay una variante de este método se llama "eliminación Gaussiana con parcial giratoria" que da una mejor precisión, cuando las entradas no son los números racionales, que no es la situación actual.

Hasta ahora todavía no he calculado la matriz de $A^{-1}$ en este caso. En su lugar he utilizado El Científico bloc de notas (incluido en el Científico Lugar de Trabajo) para encontrar que su matriz satisface $A=A^{-1}$:

$A=\begin{pmatrix}1/2&1/2&1/2&1/2 \\ 1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\end{pmatrix}=A^{-1}$

Answer 3

¿Has probado la reducción de la matriz escalonada? Tal vez mi respuesta a esta pregunta: http://math.stackexchange.com/questions/1822/is-reducing-a-matrix-to-row-echelon-form-useful-at-all/1831#1831 podría ser útil.

Answer 4

Gauss/Jordan Eliminación de hacerlo. Va a dejar de encontrar |A|^1 con la molestia de encontrar el determinante. Acaba de aumentar su matriz original con la identidad y la dejó rip.

En un aparte, aún puede deducir el determinante de la matriz inversa.

{ |A|^1= (1/det)[adj|A|]

por lo tanto, el determinante es igual al mínimo común denominador de todos los elementos de la matriz inversa.