El anillo de series de poder formal sobre un campo es un dominio ideal principal

Question

Si $K$ es un campo, cualquier ideal no cero en el anillo de las series de poder formal $A=K[[X]]$ es de la forma $AX^n$ con $n \geq 0$ así que $A=K[[X]]$ es un anillo ideal principal.

No veo por qué. Normalmente cuando consideramos el anillo de polinomios $B=K[X]$ los ideales son los múltiplos de cualquier polinomio fijo $P(x) \in K[X]$ .

Aquí, para las series de energía formales, ¿por qué podemos restringirlas a $AX^n$ ?

Answer 1

El anillo de una serie de poder formal sobre un campo es incluso más que una EPI es un anillo de valoración discreto (de ahí un anillo local). Esto se desprende de la lemma que una serie de poder formal $f(X) = \sum_ {n \geq 0} a_n X^n \in K[[X]]$ es una unidad iff $a_0 \neq 0$ . (Más generalmente sobre un anillo $R$ , $f(X) \in R[[X]]^ \times $ iff $a_0 \in R^ \times $ .) Esto muestra que $(X)$ es el único ideal máximo de $K[[X]]$ . Por lo tanto, los únicos ideales de $K[[X]]$ son $(X^n)$ así que $f(X) = u(X) X^n$ para algunos $n \in \mathbb {Z}_{ \geq 0}$ y $u(X) \in K[[X]]^ \times $ .