En la ecuación $y = ax^2 + bx + c$ de una parábola, ¿qué hace " $a$ ", " $b$ ", " $c$ "¿Representan?

Question

Tengo problemas para entender algunas cosas básicas sobre las parábolas. (Esto debería encontrarse fácilmente en Google, pero por alguna razón no pude encontrar una respuesta que me ayudara).

Conozco una ecuación estándar simple para una parábola:

$$y = ax^2 + bx + c$$

Mi problema es: no estoy seguro de lo que representan las siguientes letras: $a$ , $b$ y $c$ .

Por favor, intenta explicarme qué representa cada una de estas letras en la ecuación, de forma sencilla para que lo entienda, ya que tengo conocimientos muy básicos en matemáticas.

Gracias

Answer 1

Valdría la pena que aprendieras otra forma estándar de la ecuación de un parábola y se puede completar el cuadrado, dado $y = ax^2 + bx + c$ para obtener este formulario:

$$4p(y - k) = (x-h)^2$$

El vértice de la parábola viene dado por $(h, k)$ . $$h = \frac{-b}{2a};\quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

$$4p = \frac 1a$$

Answer 2

Puedes utilizar una DGS para hacerte una idea. He creado una hoja de trabajo para ti:

Utiliza el ratón para cambiar los números del deslizador y ver qué ocurre. Para obtener pasos más pequeños utilice el botón izquierdo del ratón para activar el deslizador y luego utilice la flecha izquierda o derecha del teclado.

http://www.geogebratube.org/student/m69762

Answer 3

La "conexión cartesiana"

El contexto más habitual es cuando $a,b,c$ son números reales . Para que esto sea una parábola, normalmente requeriríamos $a\neq 0$ .

Esta ecuación describe una parábola cuyo eje es paralelo a la $y$ -eje en el plano cartesiano $\Bbb R\times \Bbb R$ . ¿Cómo describe la forma de la parábola en sí? Aquí está:

Los puntos de la parábola son exactamente los soluciones a la ecuación dada.

Eso significa que los puntos de la parábola, cuando se enchufan en la ecuación, hacen una afirmación verdadera, y a la inversa, los únicos puntos que se pueden enchufar para que la ecuación sea verdadera son los puntos de la parábola.

Esta es una conexión muy importante que hay que entender cuando se aprenden las gráficas y las ecuaciones. Curiosamente, muchos estudiantes "saben" cómo representar gráficamente una ecuación sin darse cuenta de esta relación entre la ecuación y la gráfica.

Los coeficientes individuales

Puedo entender que se busque un significado para cada coeficiente individual, pero en realidad la verdad es un poco más complicada. Una cosa que se puede decir es que $c$ i el $y$ intercepción del gráfico. Otra cosa es que si $a>0$ el gráfico se abre como $\cup$ y cuando $a<0$ el gráfico se abre hacia abajo como $\cap$ .

Más allá de estos dos hechos, el resto de la información más importante es un mezcla de $a,b$ y $c$ .

Mediante diversas manipulaciones algebraicas, puedes demostrar que el vértice de la parábola tiene coordenadas $(\frac{-b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$ y que su $x$ intercepciones, si es que existen, están en $(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)$ (el $x$ existen intercepciones cuando esto se evalúa a valores reales). Observe cómo el vértice $x$ se encuentra a medio camino entre el $x$ interceptos en la línea real (cuando los interceptos existen.)

El enfoque es otra característica importante. El enfoque resulta ser en $(\frac{-b}{2a},\frac{1-b^2}{4a}+c)$ . Fíjate en que el vértice y el foco están en la misma línea. Eso es de esperar con la ecuación de las parábolas "verticales" que has descrito.

En cualquier caso, esto ilustra que los coeficientes individuales no dictan cada uno una cosa sobre la parábola, sino que sus mezclas controlan las diversas características.

Para derivar todo esto y entenderlo realmente, tendrás que dedicar algo de tiempo con paciencia al álgebra básica y a la definición geométrica de una parábola.

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Algunos ejemplos por cortesía de Desmos graficador en línea:

Este es un ejemplo que representa dos puntos y una parábola. Uno está en la parábola y otro no Puedes comprobar manualmente que el que está en la parábola satisface la ecuación, y el que no lo está no satisface la ecuación.

Answer 4

Son sólo coeficientes numéricos; intente trazar la función con cualquier valor (excepto $a=0$ que reduciría la parábola a una línea recta). Sería conveniente utilizar Wolfram Alpha o Excel.

Para $x=0$ el valor de y será simplemente igual a c. Si ( $b^2 - 4 a c$ ) es positivo, tendrás dos valores de x para los que y será cero (son las raíces de la ecuación cuadrática). La parábola llegará a un extremo para $x = - b / (2 a)$ este extremo será un mínimo si $a > 0$ y un máximo si $a < 0$ .

¿Puedo hacer algo más por ti?

Answer 5

Completa el cuadrado y obtener $$ y = ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k, $$ donde $$ h = -\frac{b}{2a} \quad\text{and}\quad k= -\frac{b^2-4ac}{4a} $$

Así que, $ y = ax^2 + bx + c $ es una versión traducida y escalada de $y=x^2$ .