Demostrar que $\mathbb{Z}[\omega]$ es una parte integral de dominio

Question

Demostrar que $\mathbb{Z}[\omega]=\{ a+b \omega | a,b \in \mathbb{Z} \}$ es una parte integral de dominio, donde $\omega^3=1$.

Mi solución:

Deje $(a+b\omega)(c+d\omega)= (ac-bd)+(ad+bc-bd)\omega=0$

$\Rightarrow ac=bd \; \& \; ad+bc=bd. $

Si $a\neq 0$, a continuación, poner $c= bd/a$ a resolver la ecuación y obtener

\begin{equation} \begin{split} &\quad d(a^2+b^2-ab)=0 \\ &\quad \Rightarrow d= 0 \; \text{or} \; a^2+b^2=ab. \end{split} \end{equation}

El primer caso $d=0$ soluciona el problema, pero no soy capaz de averiguar, cómo rechazar el caso 2, al $a^2+b^2=ab$.

Answer 1

El anillo de $\Bbb Z[\omega]$ puede ser embebido en el campo de $\Bbb C$ de los números complejos. Cada sub-anillo de un campo es una parte integral de dominio.

Answer 2

Desde $ab = a^2 + b^2 \geq a^2 > 0$, debemos tener $b\neq 0$ $a$ $b$ debe tener el mismo signo. Esto le da $$ a^2 + b^2 = ab\\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 $$ $a/b$ es positivo, y por lo tanto tiene un (posiblemente irracional) de la raíz cuadrada. Tenemos $$ 0\leq\left(\sqrt\frac ab - \sqrt\frac ba\right)^2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}-2 = 1-2 $$ que es un contradiciton