Es $S(E\otimes_AB)\cong S(E)\otimes_AB$?

Question

Supongamos que a es Un anillo conmutativo, $E$ $A$- módulo, $B$ $A$- álgebra, ${S}$ es el simétrico de a $A$-álgebra functor.

Es $S(E\otimes_AB)\cong S(E)\otimes_AB$?

Trato de usar universial de la propiedad, donde ${S}$ es la izquierda adjunto de la olvidadizo functor de$A-alg$$A-mod$.

Supongamos que tenemos $E\otimes_AB\to C$, $C$ una $A-alg$,$E\to C$$S(E)\to C$, pero el mapa de $B\to E\otimes_AB \to C$ no puede ser un álgebra homomorphism, ya que el segundo es sólo una $A-mod$ mapa. No sé cómo tratar con él. Alguien me puede ayudar? Gracias

Answer 1

Esto es cierto por abstracto tonterías, es decir, la regla general de que la izquierda adjunto de la composición es la composición (viceversa) de la izquierda adjoints. Considerar la composición de los olvidadizos functors

$\mathsf{CAlg}(B) \to \mathsf{Mod}(B) \to \mathsf{Mod}(A).$

La izquierda adjunto mapas de $E \in \mathsf{Mod}(A)$$S_B(E \otimes_A B)$.

Pero la composición también puede ser visto como

$\mathsf{CAlg}(B) \to \mathsf{CAlg}(A) \to \mathsf{Mod}(A).$

La izquierda adjoint por lo tanto los mapas de $E \in \mathsf{Mod}(A)$$S_A(E) \otimes_A B$.

A la izquierda adjoints son únicos, por lo tanto $S_B(E \otimes_A B) \cong S_A(E) \otimes_A B$.