(Biquadratic $\rightarrow$ Cuártica (grado 4))
La pregunta: ( de un libro que estoy practicando )
Encuentra la naturaleza de las raíces de la ecuación $$f(x) = 45 x^4-144 x^3+146 x^2-56 x+12=0$$
( Por naturaleza quiero decir... Real/Imaginario )
Mi intento:
Bueno, mi primer intento fue conociendo al menos una raíz por atropello . De modo que es de la forma $$f(x)=(x-\alpha)(ax^3+bx^2+cx+d)=0$$
Y entonces habría resuelto el cúbico de la misma manera y finalmente teniendo $$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0$$
Pero el "Hit-and-Trial" no parece funcionar aquí.
Próximo intento:
Intenté graficar la función en bruto utilizando máximo/mínimo .
He diferenciado $f(x)$ para conseguir $$f'(x)=45x^3-108x^2+73x-14$$
Lo hice $f'(x)=0$ y pensé que llegaría a unos valores de $x$ lo que resulta en un gráfico como :
¡Pero no pude ya que ni siquiera pude resolver esta ecuación cúbica!
¿Cómo puedo resolver este problema? Por favor, ayúdame también a dibujar la gráfica de una ecuación bicadrática. Gracias
P.D. - Aquí hay un enlace a wolfram alpha para esta ecuación : http://goo.gl/zs4zDa [También tiene las raíces como $1.1718,1.5671,0.23-0.3i,0.23+0.3i$ ]
EDITAR - Por favor, no creas que voy a ser capaz de adivinar $1.1718$ mientras se resuelve la cuadrática o $\frac{1}{3}$ ¡mientras se resuelve su derivada (la cúbica)! También quiero hacer esta pregunta para una ecuación biquadrática general donde todas las raíces puede no ser real . ¡¡Así que no hay adivinanzas fáciles!! En algunos casos las raíces pueden ser como $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ o algo así como $2-3i$ .
