Naturaleza de las raíces de una ecuación bicadrática

Question

(Biquadratic $\rightarrow$ Cuártica (grado 4))

La pregunta: ( de un libro que estoy practicando )

Encuentra la naturaleza de las raíces de la ecuación $$f(x) = 45 x^4-144 x^3+146 x^2-56 x+12=0$$

( Por naturaleza quiero decir... Real/Imaginario )

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Mi intento:

Bueno, mi primer intento fue conociendo al menos una raíz por atropello . De modo que es de la forma $$f(x)=(x-\alpha)(ax^3+bx^2+cx+d)=0$$

Y entonces habría resuelto el cúbico de la misma manera y finalmente teniendo $$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0$$

Pero el "Hit-and-Trial" no parece funcionar aquí.

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Próximo intento:

Intenté graficar la función en bruto utilizando máximo/mínimo .

He diferenciado $f(x)$ para conseguir $$f'(x)=45x^3-108x^2+73x-14$$

Lo hice $f'(x)=0$ y pensé que llegaría a unos valores de $x$ lo que resulta en un gráfico como :

¡Pero no pude ya que ni siquiera pude resolver esta ecuación cúbica!

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¿Cómo puedo resolver este problema? Por favor, ayúdame también a dibujar la gráfica de una ecuación bicadrática. Gracias

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P.D. - Aquí hay un enlace a wolfram alpha para esta ecuación : http://goo.gl/zs4zDa [También tiene las raíces como $1.1718,1.5671,0.23-0.3i,0.23+0.3i$ ]

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EDITAR - Por favor, no creas que voy a ser capaz de adivinar $1.1718$ mientras se resuelve la cuadrática o $\frac{1}{3}$ ¡mientras se resuelve su derivada (la cúbica)! También quiero hacer esta pregunta para una ecuación biquadrática general donde todas las raíces puede no ser real . ¡¡Así que no hay adivinanzas fáciles!! En algunos casos las raíces pueden ser como $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ o algo así como $2-3i$ .

Answer 1

La derivada de su cuartico es $$4(45x^3 - 108x^2 + 73x - 14) = 4(3x-2)(3x-1)(5x-7)$$

Así que los puntos estacionarios están en $x = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{5}$ ¿te ayuda esto a dibujar el gráfico?

Además de esto, tenemos la segunda derivada como $$540x^2-864x + 292$$ que le permitirá comprobar si sus puntos fijos son mínimos o máximos.