grupo cohomology de las 3-variedades

Question

Si $M$ es un cerrado asféricas 3-colector con el primer grupo fundamental de la $G$, luego cohomology grupos de $G$ $M$ son isomorfos porque $M$ es un Eilenberg-MacLane espacio de $K(G,1)$. En particular, no debe ser una descripción de fundamental cohomology de la clase de $M$, $[M]$, en términos de grupo cohomology, es decir, en coordenadas no homogéneas para cualquier triple a $(g_0 , g_1 , g_2)$ de los elementos de $G$, $[M]$ se asigna un número a esta triple.

Pregunta: ¿Cómo describir estos números.

P. S. : referencias para el grupo cohomology en un lenguaje geométrico, se agradece.

P. S. : estoy interesado en 3-variedades que admitir una tensa foliación por lo que su cobertura universal es $\mathbb R^3$, por lo que son asféricas, en caso de que este supuesto de ayuda.

Answer 1

Sugiero buscar un par de fuentes, lo que le permitirá armar su propia prueba.

1. La prueba de la dualidad de Poincaré en el libro de Bott-Tu, con particular énfasis en la construcción de una De Rham cocycle representando $[M]$.
2. La construcción de un cochain mapa que representa el isomorfismo entre De Rham cohomology y singular cohomology con coeficientes reales. De nuevo, Bott-Tu es una buena fuente.
3. La construcción de un cochain mapa representativo de la universal de los coeficientes de isomorfismo entre el $H^n(M;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{R} \to H^n(M;\mathbb{R})$. Para esto, cualquier topología algebraica libros de texto sería bueno.
4. La construcción de un cochain mapa que representa el isomorfismo entre el$H^n(\pi_1 M;\mathbb{Z})$$H^n(M;\mathbb{Z})$. Para esto, el Marrón, el libro de "Cohomology de los Grupos" sería bueno. Esto es donde usted tendrá que $M$ es esférico.

La cadena de los isomorphisms juntos y tendrás tu grupo cocycle.