Probabilidad: hay$n$ salas y$m$ reuniones,$m \leq n$, ¿cuál es la probabilidad de que todas las reuniones se programen en una sala diferente?

Question

Bastante nuevo en stats... definitivamente no es mi fuerte de la zona. Me encontré con esta pregunta de probabilidad, y no estoy seguro de cómo hacerlo!

La pregunta va:

pretender que no esta reunión motor de programación utilizado por este de la empresa y no se sincroniza en tiempo real, así que cuando la gente programar sus reuniones en línea para reservar una habitación, puede haber solapamientos. digamos que hay se $N$ habitaciones, y $M$ reuniones, donde$M \leq N$, ¿cuál es la probabilidad de que todas las reuniones programadas a otra habitación?

Mi idea era la de que, la primera reunión no importa, puede ser en cualquier habitación; luego de la 2ª reunión ha $\frac{1}{N-1}$ probabilidad de estar en una habitación. así que durante dos habitaciones de no chocar, la oportunidad de estar en habitaciones separadas es $\frac{1}{N-1}$. A la derecha? No estoy seguro acerca de esto ni...

Cualquier sugerencia/asesoramiento/orientación de la ayuda!

actualización para aclarar:

1) cada habitación sólo puede alojar hasta a una reunión
2) una reunión sólo puede suceder en una habitación

Answer 1

El número total de maneras de distribuir las reuniones a las salas de es $N^M$, porque, por ejemplo, la primera reunión puede tener lugar en $N$ habitaciones, el segundo también en $N$ habitaciones, y así sucesivamente.

Vamos a calcular el número de situaciones favorables. La primera reunión ha $N$ opciones. El segundo ha $N-1$ opciones y así sucesivamente. Así que la probabilidad de que todas las reuniones son en diferentes salas de es $$\frac{N(N-1)\cdots(N-M+1)}{N^M}$$

Answer 2

Si usted no está hablando acerca de la programación (para el cual el tiempo de superposición puede un problema), pero en lugar de hablar sobre donde la reunión se lleva a cabo, a continuación, hay $N^M$ posibles asignaciones de salas de reuniones. Hay $\binom{N}{M}$ formas de elegir los $M$ diferentes salas para las reuniones y $M!$ formas de asignar el $M$ reuniones a las habitaciones, por lo que la probabilidad es ${\binom{N}{M}M! \over N^M}$.

Answer 3

La misma solución que la de los otros con una perspectiva ligeramente diferente (un poco en línea con el razonamiento que has intentado proporcionar).

Deje $E_i$ ser el caso de que la sala de $i$ no chocan con salas de $1,2,3,...,i-1$.

Como se anotó en el primer cuarto no importa.

$$P(E_1)=1$$

Para el segundo cuarto, hay $N-1$ habitaciones podemos escoger de las $N$ total teniendo en cuenta el primer cuarto fue elegido:

$$P(E_2|E_1)=\dfrac{N-1}{N}$$

Del mismo modo,

$$P(E_3|E_2,E_1)=\dfrac{N-2}{N}$$

Y continúa el patrón de esta manera.

$$P(E_i|E_{i-1},E_{i-2},\cdots ,E_1) = \dfrac{N-i+1}{N}$$

Usted busca

$$P(E_1\cap E_2\cap \cdots\cap E_m) = P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_2,E_1)\cdots P(E_m|E_{m-1},E_{m-2},\cdots,E_1)$$

$$=1\cdot \dfrac{N-1}{N}\cdot \dfrac{N-2}{N}\cdots \dfrac{N-m+1}{N}$$