Evaluar

Question

Evaluar

PS

Mi intento

PS

tenemos$$I=\int \frac{\cos 2x \: dx}{3 \sin x+4 \cos x}$ $ y

PS

Asi que

PS

Asi que

PS

dónde

PS

Me quedé atascado para integrar$$I=\int \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)dx}{3 \sin x+4 \cos x}$.

Answer 1

¿Qué pasa con lo siguiente? Tenga en cuenta que el denominador se puede escribir como$$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin (x + \theta)$$ where $ \ theta$ is easy to determine. The integral becomes $$I= \frac{1}{5} \int \frac{\cos 2x \: dx}{\sin (x + \theta)}.$ $

Ahora cambie la variable de integración de$x$ a$y = x + \theta$ para que ahora tenga que evaluar$$I= \frac{1}{5} \int \frac{\cos (2y - 2 \theta) \: dy}{\sin y}$$ and use the expansion formula for $ \ cos (2 y - 2 \ theta)$. Eventually you have to evaluate integrals of the form $ \ int \ frac {\ cos 2 y} {\ sin y} dy$ and $ \ int \ frac {\ sin 2y} {\ sin y} dy $ que son directos (?).

Answer 2

PS

Dónde $$I=\int \frac{\cos 2x \: dx}{3 \sin x+4 \cos x} = \dfrac15\int \frac{\cos 2x \: dx}{\dfrac35 \sin x+\dfrac45 \cos x} = \dfrac15\int \frac{\cos 2x \: dx}{\cos(x - \alpha)}$

PS

Ahora para la primera integral, vamos a$\alpha = \cos^{-1} \dfrac45$

PS

La integral media,

PS

Así que la respuesta es,

PS

PS

Answer 3

Tenga en cuenta que$$3\sin x+4\cos x=5\Big( \dfrac{3}{5}\sin x+\dfrac{4}{5}\cos x \Big)$$ and $$\cos2x=1-2\sin^2x$ $ también$\arcsin(4/5)=\arccos(3/5)=0.92$

combinando todo esto, su integral se convierte en$\frac{1}{5}\int \frac{1 -2\sin^2x\: dx}{\sin(x+0.92)}$.

Desde aquí, funcionará$x=(x+0.92)-0.92$ en el numerador y la fórmula de integración básica para$\csc x$,$\cot x$.

Answer 4

\begin{align} Hint:(3\cos x-4\sin x)^2&=25-(3\sin x+4\cos x)^2\\ \int\frac{(3\cos x-4\sin x)^2}{3\sin x+4\cos x}dx&=\int\frac{25-(3\sin x+4\cos x)^2}{3\sin x+4\cos x}dx\\ &=25\int\frac{dx}{3\sin x+4\cos x}-\int(3\sin x+4\cos x)dx\\ &=25\int\frac{dx}{3\sin x-4+4(1+\cos x)}+3\cos x-4\sin x\\ &=25\int\frac{\frac{1}{1+\cos x}dx}{3\frac{\sin x}{1+\cos x}-4\frac{1}{1+\cos x}+4}+3\cos x-4\sin x\\ &=25\int\frac{d(\frac{\sin x}{1+\cos x})}{3\frac{\sin x}{1+\cos x}-2((\frac{\sin x}{1+\cos x})^2+1)+4}+3\cos x-4\sin x\\ &=25\int\frac{dt}{2+3t-2t^2}+3\cos x-4\sin x\\ &=25(\frac{1}{5}\ln \left|\frac{2t+1}{2-t}\right |)+3\cos x-4\sin x\\ &=5\ln \left|\frac{2\sin x+1+\cos x}{2(1+\cos x)-\sin x}\right |+3\cos x-4\sin x+C\\ \end{align}

Answer 5

SUGERENCIA: establezca $$ \ sin (x) = 2 \, {\ frac {\ tan \ left (x / 2 \ right)} {1+ \ left (\ tan \ left (x / 2 \ right) \ right) ^ {2}}} $$ $$ \ cos (x) = {\ frac {1- \ left (\ tan \ left (x / 2 \ right) \ right) ^ {2}} {1+ \ left ( \ tan \ left (x / 2 \ right) \ right) ^ {2}}} $$ su Integrand viene dada por $$ - 1/2 \, {\ frac {\ left ({t} ^ {2} +2 \, t-1 \ right) \ left ({t} ^ {2} -2 \, t-1 \ right)} {\ left (2 \, t +1 \ right) \ left (t-2 \ derecha) \ izquierda ({t} ^ {2} 1 \ derecha)}}$$ with $ t = \ tan (x / 2) $ y no Olvide$$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ $