Límite simple. Usé la regla de L'Hôpital. No funcionó.

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$

$f(x)=\frac{\exp (\arcsin \left (x \right ))-\exp (\sin \left (x \right ))}{\exp (\arctan \left (x \right ))-\exp (\tan \left (x \right ))}$

He probado la regla de L'Hôpital mencionada en el título y he sustituido ( $\arcsin x$ , $\arctan x$ , $\sin x$ , $\tan x$ ) con $\sim_{0}$ $x$ pero todavía tengo una forma indeterminada. ¿Algún consejo, por favor?

Answer 1

Como alternativa, se pueden utilizar expansiones en serie de Taylor, como $x \to 0$ , $$ \begin{align} \sin x=& x-\frac{x^3}6+o(x^3) &\tan x=& x+\frac{x^3}3+o(x^3) \\\arcsin x=& x+\frac{x^3}6+o(x^3) &\arctan x=& x-\frac{x^3}3+o(x^3) \end{align} $$ y $$ e^u=1+u+\frac{u^2}2+\frac{u^3}6+o(u^3),\quad u \to0, $$ dando, como $x \to 0$ , $$ \frac{e^{\arcsin x}-e^{\sin x}}{e^{\arctan x}-e^{\tan x}}=\frac{\frac{x^3}3+o(x^3)}{-\frac{2x^3}3+o(x^3)}=\color{blue}{-\frac12}+o(1). $$

Answer 2

Podemos proceder de la siguiente manera \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{e^{\arcsin x} - e^{\sin x}}{e^{\arctan x} - e^{\tan x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}e^{\sin x - \tan x}\cdot\frac{e^{\arcsin x - \sin x} - 1}{e^{\arctan x - \tan x} - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{e^{\arcsin x - \sin x} - 1}{\arcsin x - \sin x}\cdot\frac{\arcsin x - \sin x}{\arctan x - \tan x}\cdot\frac{\arctan x - \tan x}{e^{\arctan x - \tan x} - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x - \sin x}{\arctan x - \tan x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(x + \dfrac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\right) - \left(x - \dfrac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\right)}{\left(x - \dfrac{x^{3}}{3} + o(x^{3})\right) - \left(x + \dfrac{x^{3}}{3} + o(x^{3})\right)}\notag\\ &= -\frac{1}{2}\notag \end{align}