¿Cómo encontrar el valor propio y la función de Sturm-Liouville?

Question

Así que tengo el siguiente Sturm-Liouville problema: $$ y" + \lambda y = 0 $$ Tal que $ \lambda > 0 $ y las condiciones iniciales son como sigue: $$ y (0) + y'(0) = 0 $$ $$ y(1) + y'(1) = 0 $$

Así que mi intento es algo como esto:

Sé que el $\lambda$ es positivo por lo que la solución debe ser: $$ y(t) = A\cos(\sqrt(\lambda)t) + B\sin(\sqrt(\lambda)t)$$

y: $$ y'(t) = -A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}t) + B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda})t)$$

Tal que $A$ e $B$ son constantes.

Así que pueden evaluar la solución en la primera condición inicial: \begin{align} &=A\cos(\sqrt{\lambda}0) + B\sin(\sqrt{\lambda}0) + -A\sqrt{\lambda})\sin(\sqrt{\lambda}0) + B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}0)\\ &=A + B\sqrt{\lambda} \end{align}

Así que yo sé: $$ A = -B\sqrt{\lambda}$$

La evaluación en la segunda condición inicial: \begin{align} &=A\cos(\sqrt{\lambda}1) + B\sin(\sqrt{\lambda}1) -A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}1) + B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}1)\\ &=A\cos(\sqrt{\lambda}) + B\sin(\sqrt{\lambda}) -A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}) + B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}) \end{align}

No estoy seguro de dónde ir de aquí, yo factorizada de la segunda condición inicial por el cos y el pecado, pero lo que me llevó a una solución trivial para a y B como esta:

$$(A + B\sqrt{\lambda})\cos(\sqrt{\lambda}) + (B - A\sqrt{\lambda})\sin(\sqrt{\lambda}) = 0$$

Conectar $$ A = -B\sqrt{\lambda}$$.

$$(-B\sqrt{\lambda} + B\sqrt{\lambda})\cos(\sqrt{\lambda}) + (B + B\sqrt{\lambda}\sqrt{\lambda})\sin(\sqrt{\lambda}) = 0$$ $$ (B + B\lambda)\sin(\sqrt{\lambda}) = 0$$

Así, suponiendo $B$ no $0$, entonces sé $\lambda = (n\pi)^2$ pero, ¿cómo puedo encontrar el valor de B? Cualquier orientación sería muy apreciada!

Gracias.

Answer 1

Empezar por la solución de $y''+\lambda y = 0$ sujeto a $$ y'(0)+y(0)=0 \\ y(0)=1. $$ La segunda condición es arbitraria; usted podría tomar $y(0)-y'(0)=1$ por ejemplo. El punto es que ninguna solución puede satisfacer $y'(0)+y(0)=0$ e $y(0)=0$ menos que sea idéntica a la $0$ solución, que significa que usted puede siempre la escala de $y$ , de modo que $y'(0)+y(0)=0$ e $y(0)=1$. La solución de este problema es $$ y_{\lambda}(x)=-\frac{\sin(\sqrt{\lambda}x)}{\sqrt{\lambda}}+\cos(\sqrt{\lambda}x). $$ Observe que la de arriba es la solución correcta en $\lambda=0$ cuando se interpreta como un límite de $\lambda\rightarrow 0$, donde se da $-x+1$. De hecho, $y_{\lambda}$ es una potencia de la serie en $\lambda$. Este siempre será el caso.

La condición añadida de que $y'(1)+y(1)=0$ da una ecuación en la $\lambda$: $$ -\cos(\sqrt{\lambda})-\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda})-\frac{\sin(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}+\cos(\sqrt{\lambda}) = 0. $$ Las soluciones de $\lambda$ son los ceros de una potencia de la serie en $\lambda$, e $\lambda=0$ no es una solución. Las soluciones de $\lambda$ debe satisfacer $$ \sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda})+\frac{\sin(\sqrt{\lambda})}{\sqrt{\lambda}}=0. $$ Se parece a $\lambda=0$ no es una solución, sino $\sqrt{\lambda}=n\pi$ para $n=1,2,3,\cdots$ son soluciones. Y $\lambda=-1$ se ve como una solución. $y_{-1}$ es una solución exponencial $e^{-x}$.

Answer 2

$$y'' + \lambda y = 0 \qquad \lambda>0$$ Desde $\lambda>0\quad $ deje $\quad \lambda=\omega^2$. $$y'' + \omega^2 y = 0$$ $$y(x)=c_1\cos(\omega x)+c_2\sin(\omega x)$$ $$y'=-c_1\omega \sin(\omega x)+\omega c_2\cos(\omega x)$$ Condiciones :

$y(0)=c_1$

$y(1)=c_1\cos(\omega)+c_2\sin(\omega)$

$y'(0)=\omega c_2$

$y'(1)= -c_1\omega \sin(\omega)+\omega c_2\cos(\omega)$

$$\begin{cases} y(0)+y'(0)=c_1+\omega c_2=0 \\ y(1)+y'(1)=c_1\cos(\omega)+c_2\sin(\omega)-c_1\omega \sin(\omega)+\omega c_2\cos(\omega)=0 \end{casos}$$ $c_1= -\omega c_2$

$(-\omega c_2)\cos(\omega)+c_2\sin(\omega)-(-\omega c_2)\omega \sin(\omega)+\omega c_2\cos(\omega)=0$

Una primera solución es : $$c_2=0 \quad\implies\quad c_1=0\quad\implies\quad y(x)=0$$ Este trivial solución era visible a primera vista.

No caso trivial $\quad c_2\neq 0 $ :

$-\omega\cos(\omega)+\sin(\omega)+\omega^2\sin(\omega)+\omega\cos(\omega)=0$

$(1+\omega^2)\sin(\omega)=0$

$\omega=\pm n\pi\quad$ cualquier entero $n$ .

Si $\lambda\neq (n\pi)^2\quad$caso $c_2\neq 0$ es imposible. La única solución del problema es $y(x)=0$.

Si $\lambda= (n\pi)^2\quad$ son una infinidad de soluciones :

$\omega=\pm n\pi \quad;\quad c_1= \mp n\pi c_2\quad$ cualquier $c_2$ .

$y(x)=\mp n\pi c_2\cos(\pm n\pi x)+c_2\sin(\pm n\pi x)$

$y(x)=\mp n\pi c_2\cos(n\pi x)\pm c_2\sin(n\pi x)$

$y(x)=\pm c_2\left(-n\pi\cos(n\pi x)+\sin(n\pi x)\right)$

Desde $c_2$ es cualquier constante positiva o negativa, sin pérdida de generalidad :

$$y(x)=c_2\left(-n\pi\cos(n\pi x)+\sin(n\pi x)\right)\quad\text{if}\quad \lambda= (n\pi)^2$$