Tengo un problema para resolver el siguiente problema: si $1=e_1+e_2$ con unidades no $e_1,e_2 \in R$ y si $e_1e_2$ es nilpotent, entonces hay un elemento idempotent $e\not =0$ , $e\not =1$ . Tal vez sea un problema sencillo, pero no lo he podido resolver hasta ahora.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Set $e:=e_1$ , de modo que $e_2=1-e$. Dado que $e_1e_2$ es nilpotent existe $k\in\Bbb{N}$ tales que $$0=(e_1e_2)^k=(e(1-e))^k=e^k(1-e)^k,$$ porque, por supuesto, $e$ e $1-e$ viaje. Establecimiento $f:=e^k$ e $g:=(1-e)^k$ rendimientos $fg=0$. Por otra parte $e$ e $1-e$ ambos dividen $f+g-1$ y, por tanto, $f+g-1$ también es nilpotent. De ello se desprende que $f+g$ es una unidad y por $u:=(f+g)^{-1}$ hemos $$uf=uf\cdot u(f+g)=(uf)^2+uf\cdot ug=(uf)^2+u^2fg=(uf)^2,$$ donde $u$ e $f$ conmutar porque $f$ e $g$ do. Esto demuestra que $uf$ es idempotente. Tenga en cuenta que $uf\in\{0,1\}$ si y sólo si $f=0$ o $g=0$, en cuyo caso cualquiera de las $e_1$ o $e_2$ es nilpotent, y el otro es una unidad, que contradice la suposición de que $e_1$ e $e_2$ no son unidades.
rschwieb
Puntos
60669
Esto no es tan concreto como Servaes la respuesta, pero hace uso de un útil lema:
Idempotents ascensor modulo cero ideal. Es decir, si cada elemento de a$I$ es nilpotent, y $(e+I)(e+I)\equiv e+I\in R/I$ entonces existe $f\in R$ tal que $f^2=f$ e $f+I=e+I$.
Vea este y este , por ejemplo.)
Paso 1: reducir a un sub-anillo conmutativo $S$
Como se mencionó anteriormente, la hipótesis de $R$ solicitar a la sub-anillo de $R$ generado por $e_1$ (que incluye a $e_2=1-e_1$), y este sub-anillo es conmutativo. Si podemos encontrar un idempotente no trivial de que la sub-anillo, le han encontrado un idempotente no trivial de $R$. Así que si podemos demostrar el teorema de anillos conmutativos, vamos a obtener de forma gratuita para no conmutativa anillos. Deje $S$ denotar la sub-anillo.
Paso 2: Buscar en $S/(e_1e_2)$ encontrar un idempotente de $S$
Tenemos la ecuación de $1=e_1+e_2$ en $S$, y, por consiguiente, $e_1=e_1^2+e_1e_2$. Ahora, $I\lhd S$ dado por $I=e_1e_2S$ es nilpotent ideal, ya que es generada por un nilpotent elemento. Modulo $I$, la ecuación anterior se transforma en la $e_1+I\equiv e_1^2+I$, lo $e_1+I$ es un idempotente de $S/I$.
Por el lema que he citado anteriormente, no debe existir una $f\in S$ tal que $f^2=f$ e $f+I=e_1+I$. La única cosa a la izquierda para mostrar es que $f\notin\{0,1\}$, pero ambos casos son eliminadas por el original de la hipótesis, como veremos.
Paso 3: confirmar $f$ obras
Si $f=0$ , de modo que $e_1+I=I$, a continuación, $e_1\in I$, que recordemos es un nilpotent ideal, por lo $e_1$ es nilpotent. Pero, a continuación, $1-e_1=e_2$ es una unidad, lo que contradice la suposición de $e_2$ no es una unidad.
Del mismo modo, si $f=1$, a continuación, $e_1+I=1+I$ implica $e_2=e_1-1\in I$, de donde $e_2$ es nilpotent y $e_1=1-e_2$ es una unidad por la misma lógica que en el caso anterior.
Así en el hecho de $f\notin \{0,1\}$, y es un idempotente no trivial de $S$, y, por tanto, de $R$.
Estoy seguro de que el lema estoy usando sólo se oculta Servaes detalles de debajo de la alfombra, y que iba a ser una gran cosa que decir. Pero tal vez romper aparte del problema a través de este lema es una buena cosa, porque el lema es útil en otros lugares. Dos por uno!
