Estoy publicando una "respuesta" para los métodos alternativos. El tercer método a continuación es el más directo, aprovechando el hecho de que $(x^2+6)-(x^2+4) = 2$ . La respuesta a la pregunta, r(4) = -131.
Utilizar un proceso de división larga "inversa" para producir una f(x) común basada en las dos primeras ecuaciones dadas funcionará, pero, aunque esto resuelve el problema, dudo que sea la solución prevista, ya que implica una búsqueda razonada por ensayo y error de f(x) (una especie de búsqueda de fuerza bruta optimizada), y tengo la impresión de que una respuesta adecuada debería poder resolver para r(x) o específicamente para r(4) sin tener que determinar f(x).
A continuación se muestra cómo es el proceso. f(x) (el dividendo) y los cocientes a(x), b(x) son desconocidos. Los divisores y los residuos se dan en las dos primeras ecuaciones de la pregunta. Se empieza por la parte inferior de estas dos divisiones largas en paralelo, trabajando hacia arriba para producir una f(x) común.
Como se ha dicho, se trata de un proceso razonado de prueba y error. Por ejemplo, mi primer intento para el término x^2 de f(x) fue 13x^2, que falló después, el segundo intento fue 25x^2, que funcionó (al menos produce una f(x) común que satisface las dos primeras ecuaciones). Para el resto de los términos, los primeros intentos de términos para una f(x) común (y los correspondientes términos cocientes de a(x) y b(x)) funcionaron.
Considere el primer paso, f(x) / (x^2+4) tiene resto ...+1, f(x) / (x^2+6) tiene resto ...-1. Esto sugiere que el último término de f(x) es 5 y los últimos términos de ambos cocientes son 1, ya que 5-4 = +1 y 5-6 = -1. Los términos de x en el resto muestran que después de la sustracción del tercer paso desde abajo, los términos de x son 2x para la división por (x^2+4) y 6x para la división por (x^2+6), y el ajuste del término de x de f(x) a 18 funciona como 18 - (4-4) = 2 y 18 - (2-6) = 6. Se continúa el proceso hacia arriba, buscando términos comunes de f(x) que satisfagan ambas divisiones largas. Este es el resultado final. Una vez más, observe que este proceso se inicia en la parte inferior y se trabaja hacia arriba para producir un f(x) común (dividendo) para ambos divisores:
1 1 6 4 1 1 1 4 2 1
--------------------- ---------------------
1 0 4 | 1 1 10 8 25 18 5 1 0 6 | 1 1 10 8 25 18 5
1 0 4 1 0 6
1 6 8 1 4 8
1 0 4 1 0 6
6 4 25 4 2 25
6 0 24 4 0 24
4 1 18 2 1 18
4 0 16 2 0 12
1 2 5 1 6 5
1 0 4 1 0 6
2 1 6 -1
Una vez que se determina cualquier f(x) que satisface las dos primeras ecuaciones dadas, el resto sólo requiere una división normal.
$$f(x) = x^6 + x^5 + 10 x^4 + 8 x^3 + 25 x^2 + 18 x + 5$$
Expresar f(x) como cociente - divisor + resto para los diferentes divisores:
$$f(x) = (x^4 + x^3 + 6x^2 + 4x + 1)(x^2 + 4) + 2x + 1 $$ $$f(x)= (x^4 + x^3 + 4x^2 + 2x + 1)(x^2 + 6) + 6x - 1 $$ $$f(x) = (x^2 + x)(x^4 + 10x^2 + 24) -2 x^3 + x^2 - 6 x + 5 $$
Utilizando la aproximación típica del teorema del resto f(x) evaluada en las 4 raíces de (x^2+4)(x^2+6): $$f(x) = c(x))(x^2+4)(x^2+6)) = r(x)$$ $$f(x) = (c(x) · 0) + r(x) = r(x)$$ f(x) evaluada en las 2 raíces de (x^2+4): $$f(x) = (a(x) · 0) + 2x + 1) = 2x + 1$$ f(x) evaluada en las 2 raíces de (x^2+6): $$f(x) = (b(x) · 0) + 6x - 1) = 6x - 1$$ Esto conduce a 4 puntos de datos para r(x): $${-(2)i,-(4)i+1}$$ $${+(2)i,+(4)i+1}$$ $${-\sqrt{6}i,-(6)\sqrt{6}i-1}$$ $${-\sqrt{6}i,-(6)\sqrt{6}i-1}$$
Utilizar la interpolación de Lagrange para resolver r(x) es complicado debido a los números complejos:
r(x) = ((x-x1)(x-x2)(x-x3)(y0))/((x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)) +
((x-x0)(x-x2)(x-x3)(y1))/((x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)) +
((x-x0)(x-x1)(x-x3)(y2))/((x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)) +
((x-x0)(x-x1)(x-x2)(y3))/((x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)) +
moler los 4 términos lleva a:
r(x) = (1/2 + i/8) (x^3 - 2 i x^2 + 6 x - 12 i) +
(1/2 - i/8) (x^3 + 2 i x^2 + 6 x + 12 i) +
1/24 (( i sqrt(6) - 36) x + 36 i sqrt(6) + 6) (x^2 + 4) +
1/24 ((-i sqrt(6) - 36) x - 36 i sqrt(6) + 6) (x^2 + 4)
r(x) = x^3 + 1/2 x^2 + 6 x + 3 +
-3 x^3 + 1/2 x^2 - 12 x + 2
r(x) = -2 x^3 + x^2 - 6 x + 5
Aprovechando el hecho de que $(x^2+6) - (x^2+4) = 2$ :
$$f(x) = a(x)(x^2+4)+(2x+1)$$ $$f(x) = b(x)(x^2+6)+(6x-1)$$ multiplicar la primera ecuación por $(x^2+6)$ y la segunda ecuación por $(x^2+4)$ $$f(x)(x^2+6) = a(x)(x^2+4)(x^2+6)+(2x+1)(x^2+6)$$ $$f(x)(x^2+4) = b(x)(x^2+4)(x^2+6)+(6x-1)(x^2+4)$$ restando la cuarta ecuación de la tercera: $$2f(x) = a(x)(x^2+4)(x^2+6)+(2x+1)(x^2+6)-b(x)(x^2+4)(x^2+6)-(6x-1)(x^2+4)$$ $$f(x) = (1/2)(a(x)(x^2+4)(x^2+6)+(2x+1)(x^2+6)-b(x)(x^2+4)(x^2+6)-(6x-1)(x^2+4))$$ $$f(x) mod((x^2+4)(x^2+6)) = r(x) = (1/2)((2x+1)(x^2+6) - (6x-1)(x^2+4))$$ $$r(x) = -2x^3 + x^2 - 6x + 5$$
