Mostrando$f(t) = t^4 + 2t^2 + 9$ es reducible sobre$\Bbb Q$

Question

Así, como parte de una tarea problema, estoy con la tarea de mostrar que $f(t) = t^4 + 2t^2 + 9$, a pesar de no tener raíces en los racionales, es reducible sobre ellos. El ex tarea, mostrando una falta de raíces racionales - es bastante fácil, pero el último está demostrando un absoluto dolor.

Y yo sospecho que en realidad no es reducible.

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Es obvio que desde $f$ no tiene raíces racionales, sabemos que, si $f$ es reducible, debe tener una factorización de la $f = gh$ donde $g,h$ son cuadráticas.

Si hacemos la sustitución de $u = t^2$ entonces $f(u) = u^2 + 2u + 9$. Esto no parece inmediatamente factorizable por elemental métodos (es decir, el conjunto "la suma de los factores de término constante suma a la lineal coeficiente" cosa que aprendemos en la escuela media). Bueno ¿y ahora qué?

Mi primer pensamiento fue para jugar con el teorema fundamental del álgebra sólo para simplificar el tema. Por lo tanto, encontramos las raíces de $f$ en términos de $u$, que se $u = -1 + 4i \sqrt 2, \overline u = -1 - 4i \sqrt 2$.

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Edit: Como se observó en una de las respuestas, por egreg, yo realmente no encontrar la correcta raíces en términos de $u$: me olvidé de dividir el coeficiente de la raíz de dos. Y, por supuesto, otras respuestas también han señalado que pasé por alto algunas técnicas de factorización. Oh, bueno, así es la vida. En cualquier caso, tenga en cuenta que este error rizadas hacia adelante, desde aquí en mi trabajo y lo hizo todo más problemático.

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Entonces por nuestro sustitución, de las raíces a $f$ en términos de $t$ se $\sqrt u, -\sqrt u, \sqrt {\overline{u}}, - \sqrt{\overline{u}}$. Por lo tanto, por el teorema fundamental del álgebra,

$$f(t) = (t-\sqrt u)(t-\sqrt {\overline{u}})(t+\sqrt u)(t+\sqrt {\overline{u}})$$

Seguramente, algunos de emparejamiento de estos cuatro factores en dos grupos de dos se multiplican entre sí para dar una ecuación cuadrática en racional de los coeficientes de rendimiento que $f$ es reducible. Sin embargo, no importa cómo me par de ellos, me parece que no puede hacer este trabajo.

Considerar nuestro primer factor.

• Si se multiplica por la segunda, la lineal coeficiente de es $-(\sqrt u + \sqrt{ \overline {u}})$. Wolfram le da a este como $\sqrt{2\sqrt{33} - 2}$. Obviamente no es racional.
• Si usted elige la tercera, a continuación, obtener una raíz cuadrada de un nonreal número complejo como el término constante. Por lo tanto, no es racional.
• Si elegimos la cuarta, entonces tenemos la lineal coeficiente de ser $\sqrt{ \overline {u}} - \sqrt u$. Wolfram le da a este ser puramente número imaginario, el mismo coeficiente, como antes lo contrario.

Así que no importa que el camino que par el primer factor parece que no podemos generar una ecuación cuadrática con coeficientes racionales.

¿Esto significa que hay algún tipo de error en la asignación, que este polinomio es irreducible? Estoy con vistas a algo, hacer un error en alguna parte? (He estado lidiando con esto por un par de horas y no es realista, dado lo tardío de la hora, que me podría haber pasado por alto un error en alguna parte.)

Answer 1

Este tipo de factorización problema es bastante común en la escuela secundaria Olimpiadas. La forma en que me enseñaron es pensar en el método de completar el cuadrado, pero tratando de conservar el término constante en lugar de medio plazo. Por ejemplo, decir que quería factor de $x^4+x^2+1$. La idea es encontrar una ecuación cuadrática cuya plaza está de acuerdo con nuestra polinomio de cuarto grado en el coeficiente inicial y el término constante, a continuación, reste el plazo adicional, con la esperanza de que las cosas salgan. En este caso, $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$, y en su caso, $t^4+2t^2+9=(t^2+3)^2-4t^2=(t^2+2t+3)(t^2-2t+3)$.

La razón por la que comparar este para completar el cuadrado es que por lo general, completando el sqaure le pide que encuentre un cuadrado perfecto en el que se acuerda con el polinomio que desee en el coeficiente inicial y medio plazo. Por ejemplo, usted podría escribir $x^2+4x+3=(x+2)^2-1=(x+3)(x+1)$ con $(x+2)^2$ siendo el deseado cuadrado perfecto. Completando el cuadrado no funciona aquí, pero tenemos la suerte de que un cierre de la variante de que no!

Answer 2

Las raíces de $z^2+2z+9$ se $-1\pm i\sqrt{8}$. Vamos a encontrar las raíces cuadradas de ambos. $$ -1+i\sqrt{8}=(x+iy)^2 $$ los rendimientos \begin{cases} x^2-y^2=-1 \\[4px] 2xy=2\sqrt{2} \end{casos} que resuelve como $x=1$ e $y=\sqrt{2}$ o $x=-1$ e $y=-\sqrt{2}$. Del mismo modo la otra raíz de los rendimientos de $x=1$ e $y=-\sqrt{2}$ o $x=-1$ e $y=\sqrt{2}$.

Ahora que la vinculación debe ser bastante obvio: para $1+i\sqrt{2}$ con $1-i\sqrt{2}$ la suma es $2$ y el producto es $3$.

De este modo se obtiene el factor de $t^2-2t+3$. El otro factor es $t^2+2t+3$.

Answer 3

$$t^4+2t^2+9=\big(t^4+6t^2+9\big)-4t^2=$ $ $$(t^2+3)^2-4t^2=$ $ $$(t^2-2t+3)(t^2+2t+3)$ $

Answer 4

Tenga en cuenta que $$ t ^ 4 +2t ^ 2 +9 = (t ^ 2 + 2t + 3) (t ^ 2 - 2t + 3) $$ es reducible.

Answer 5

Aquí un método general para encontrar irreductible racional de los factores, que se puede hacer a mano si los coeficientes y el grado que no sean demasiado grandes (decir $\deg f\leq 8$). No es mucho más que la fuerza bruta.

Como nota, el polinomio no tiene raíces racionales. En efecto, mediante la racionalización en el teorema de la raíz, si es que tiene una raíz racional, entonces debe ser un divisor de a$9$, y el $6$ divisores se pueden comprobar fácilmente de no ser raíces. Entonces, si es reducible, debe ser el producto de dos irreductible cuadráticas. Así que supongo que $$t^4+2t+9=(t^2+at+b)(t^2+ct+d),$$ donde ya he asumido (sin pérdida de generalidad) que el cuadráticas son monic. Por otra parte, por Gauss lema de los coeficientes de la cuadráticas son enteros. La expansión de los productos de los rendimientos de las ecuaciones $$a+c=0,\qquad ac+b+d=2,\qquad ad+bc=0,\qquad bd=9.$$ A continuación, $c=-a$ e lo $0=ad+bc=a(d-b)$ por lo tanto $a=0$, lo que conduce a $b+d=2$ e $bd=9$ lo cual es imposible, o $d-b=0$ lo que conduce a $b^2=9$ e $2b=a^2+2>0$. A continuación, $b=3$ e $a=2$, y vemos que $$(t^2+2t+3)(t^2-2t+3)=t^4+2t+9,$$ así que, de hecho, el polinomio es reducible.