Topología "generada por" subgrupos normales (grupos topológicos).

Question

Deje $G$ ser un grupo y $L$ ser un no-vacío de la familia de subgrupos normales de tal forma que si $K_{1},K_{2} \in L$ e $K_{3}$ es un subgrupo normal que contengan $K_{1} \cap K_{2}$ entonces $K_{3} \in L$. Deje $T$ ser una familia de uniones de conjuntos de cosets $Kg$ con $K \in L,g \in G$. Mostrar que $T$ es una topología en $G$ y que $G$ es un grupo topológico con respecto a esta topología. Mostrar que $L$ es el conjunto de abrir normal subgrupos de $G$ con respecto a esta topología.

Este es el primer problema de Wilson del libro "Profinite Grupos". Estoy teniendo problemas con esta pregunta.

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El uso de YCor comentario, yo era capaz de demostrar que $T$ es una topología con base:

$$B = \left\{C_{I,J} \mid C_{I,J} = \{K_{i}g_{j}\}_{i \in I, j \in J}\right\}.$$

Ahora, para demostrar que $G$ es topológico grupo, necesito mostrar que los mapas de $\varphi: G \times G \to G$ dado por $\varphi(x,y) = xy$ e $\psi: G \to G$ dado por $\psi(x) = x^{-1}$ son continuas.

Todavía no estoy familiarizado con grupos topológicos (este es el primer problema del libro), así que estoy teniendo un poco de problemas de tiempo con esta pregunta.

Por lo tanto, necesito mostrar que si $U$ está abierto en $G$, $\varphi^{-1}(U)$ está abierto en $G \times G$. Pero, es suficiente considerar $U \in B$. He trabajado con un simple subconjunto de $B$: $\{Kg\}$ para algunos $K \in L$ e $g \in G$. Los conjuntos

$$Kg \times \{1\}1$$ $$K1\times \{1\}g$$ $$Kg^{-n}\times \{1\}g^{n+1}$$ $$Kg^{n+1} \times \{1\}g^{-n}$$

y el "simétrica" productos son mapas en $\{Kg\}$ y la unión de esta conjuntos en $T$. Si no estoy completamente equivocado, creo que el caso general es similar, pero no sé cómo se formaliza.

También, para la última parte, estoy teniendo problemas para mostrar que el conjunto de abrir normal conjuntos de $G$ se encuentra en $L$. Me gustaria una sugerencia para él.

Answer 1

La suposición sobre la $L$ es equivalente a las dos condiciones siguientes:

(a) Si $K_1, K_2 \in L$, a continuación, $K_1 \cap K_2 \in L$. [debido a $K_1 \cap K_2$ es normal]

(b) Si $K \in L$ e $N$ es un subgrupo normal tal que $K \subset N$, a continuación, $N \in L$. [tome $K_1 = K_2 = K$]

Vamos a probar ahora un par de reclamaciones.

1) Vamos a $K \in L$ e $g,g' \in G$ tal que $g \in Kg'$. A continuación, $Kg'= Kg$.

Tenemos $g = kg'$ para algunos $k \in K$. Desde $Kk' = K$ cualquier $k' \in K$, obtenemos $Kg' = K k^{-1} g = K g$.

2) Deje $K_1, K_2 \in L$ e $g_1,g_2 \in G$. Si $K_1g_1 \cap K_2g_2 \ne \emptyset$, a continuación, $K_1g_1 \cap K_2g_2 = (K_1 \cap K_2)g$ para algunos $g \in G$.

Deje $g \in K_1g_1 \cap K_2g_2$. A continuación, $K_1g_1 = K_1g, K_2g_2 = K_2g$. Por lo tanto $K_1g_1 \cap K_2g_2 = K_1g \cap K_2g = (K_1 \cap K_2)g$.

3) $T$ es una topología en $G$.

$\emptyset \in T$ (es la unión de los vacíos de la familia de cosets $Kg$.)

$X \in T$ ($X = \bigcup_{g \in G} Kg$ cualquier $K \in L$.)

$T$ contiene todos los sindicatos de los miembros de $T$ (obvio a partir de la definición).

$T$ contiene la intersección de dos miembros de $T$:

Para $k = 1,2$ deje $U_k = \bigcup_{i_k \in A_k, j_k \in B_k} K_{k,i_k}g_{k,j_k}$. A continuación, $U_1 \cap U_2 = \bigcup_{i_1 \in A_1, j_1 \in B_1,i_2 \in A_2, j_2 \in B_2} K_{1,i_1}g_{1,j_1} \cap K_{2,i_2}g_{2,j_2}$ que pertenece a $T$ 2).

4) Para cada una de las $g \in G$, la $L(g) = \{ Kg \mid \ K \in L \}$ es una base de abiertos neigborhoods de $g$.

Deje $U$ ser un barrio de $g$. Elija $K \in L$ e $g' \in G$ tal que $g \in Kg' \subset U$. 1) tenemos $Kg' = Kg$.

5) $\varphi$ es continua.

Deje $g_1,g_2 \in G$ e $U$ ser un barrio de $g_1g_2$. Elija $K \in L$ tal que $Kg_1g_2 \subset U$. Los conjuntos de $V_i = Kg_i$ están abiertos los barrios de $g_i$. Desde $K$ es normal, tenemos $g_1K = Kg_1$. Llegamos $\varphi(V_1,V_2) = Kg_1Kg_2 = KKg_1g_2 = Kg_1g_2 \subset U$.

6) $\psi$ es continuo.

Deje $g \in G$ e $U$ ser un barrio de $g^{-1}$. Elija $K \in L$ tal que $Kg^{-1} \subset U$. El conjunto $V = Kg$ es una vecindad de a$g$. Llegamos $\psi(V) = (Kg)^{-1} = g^{-1}K^{-1} = g^{-1}K = Kg^{-1} \subset U$.

7) $L$ es el conjunto de abrir normal subgrupos.

Deje $N$ ser un subgrupo normal. Contiene los neutrales $e$ de $G$. Por lo tanto, no existe $K \in L$ tales $K = Ke \subset N$. Por supuesto, en $L$ obtenemos $N \in L$.

Por el contrario, si $K \in L$, a continuación, $K = Ke$ está abierto.