Estoy buscando algo de información sobre lo que creo que se llama un verdadero doble de la secuencia. Lo que me llamo la doble secuencia es una función de $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Por oposición a esto, que yo llamo de secuencia simple (sólo una secuencia regular), una función de $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.
La recursividad relación
He aprendido que para una simple secuencia, hay métodos para resolver problemas de recursividad definiciones de una secuencia. Por ejemplo, la simple función de $u(n)$ define como $\forall n\in\mathbb{N}, u(n+1)= u(n)+ u(n-1)$, podemos resolver el polinomio característico asociado con esta recursividad relación, y nos encontramos con que el espacio de solución de $S$ es el lapso de los números de Fibonacci $F_n$ y Lucas números de $L_n$ : $S\in Span(F_n,L_n)=Vect(F_n,L_n)$.
Mi problema
Sin embargo, tengo algunos intereses en doble secuencias de $u(i,j)$ definido por una relación de recursividad, de modo que $\forall (i,j)\in \mathbb{N}^2,u(i,j) = f_1(i,j) \cdot u(i,j-1) + f_2(i,j) \cdot u(i-1,j-1)$, con el primer término $u(0,0)$ ser igual a una constante real, vamos a decir $u(0,0) = \alpha$; y que $\forall (i,j)\in \mathbb{Z}^2, (i<0 \vee j<0),u(i,j) = 0$ así los términos con índice negativo en la relación de recursividad cancela a cabo muy bien.
Un cambio de variable?
Alguien me sugirió hacer un cambio de variable, por lo que obtenemos una doble secuencia $v(i,j)$ con el formulario de $\forall (i,j)\in \mathbb{N}^2,v(i,j) = g_1(i,j) \cdot v(i,j-1) + g_2(i,j) \cdot v(i-1,j)$. Por lo tanto, tiene sentido para mí, porque se parece mucho más fácil de calcular.
Mis preguntas
Mis preguntas son:
- Hay un método general para la solución de $\forall (i,j)\in \mathbb{N}^2,v(i,j) = g_1(i,j) \cdot v(i,j-1) + g_2(i,j) \cdot v(i-1,j)$ ?
- Hay un método si $g_1$ e $g_2$ son polinomios de segundo orden de $i$ e $j$ : $g_1(i,j) = a + bi + ci^2 + dj + dj^2 + eij + fi^2j + gi^2j^2 + \dots $ ?
- Hay una representación de la matriz de este sistema que podría ser usada para calcular esto?
Editar debido a Yuval Filmus' comentario
Edit: El comentario resultó ser un poco de ayuda con el usuario llamado Yuval Filmus me dice acerca de las funciones de generación y vinculación de este libro. Básicamente, la idea de esta idea es reemplazar el estudio de la $u(i,j)$ por el estudio de la $\sum \sum u(i,j) x^i y^j$; a continuación, se sustituyen los términos con derivadas parciales como se describe en el libro, y que encienda el problema de la recursividad en un PDE problema. Sin embargo, yo, el problema es que las funciones $g_1$ e $g_2$ son polinomios de orden 2, y no sé cómo hacer que aparezca. Así que me gustaría saber si alguien podría explícitamente vez mi problema en un PDE problema, resolverlo? Luego, una vez que la función $\sum \sum u(i,j) x^i y^j$ ha sido encontrado, usted acaba de hacer el hacer el producto con la familia de funciones $x^i$ e $y^j$ conseguir $u(i,j)$.
Nota al margen: yo no sabía acerca de este método para resolver el problema de la recursividad, pero yo sabía que de la otra manera: reemplazar un PDE con $\sum \sum u(i,j) x^i y^j$ luego de identificar la relación de recursividad, luego resolverlo (suponiendo que era fácil); a continuación, intente reconocer con el conocido expansiones de Taylor.
