¿Cómo se demuestra la segunda ley de la termodinámica desde la mecánica estadística?

Question

¿Cómo se demuestra la segunda ley de la termodinámica a partir de la mecánica estadística? ¿Para demostrar que la entropía solo aumentará con el tiempo? ¿Cómo probarlo? Por favor, guía.

Answer 1

Creo que una respuesta satisfactoria a tu respuesta sería bastante extensa. Solo te doy un par de referencias.

Con respecto a la segunda ley de la termodinámica, se puede derivar de la física estadística a partir del postulado de igual probabilidad previa, sobre el cual te sugiero que leas el capítulo 1 del libro de Reif: Mecánica estadística.

En lo que respecta al hecho de que la Entropía solo puede aumentar con el tiempo, te sugiero que eches un vistazo al llamado "teorema H" o "teorema de la irreversibilidad", que puedes encontrar explicado paso a paso aquí.

Answer 2

Una idea de la explicación, aunque no completamente rigurosa.

Bajo la hipótesis de caos molecular, se pueden considerar colisiones de dos cuerpos $AB \leftrightarrow A'B'$, y tenemos, para esta colisión particular :

$$\frac{dp_{A'}}{dt} = \frac{dp_{B'}}{dt} = -\frac{dp_{A}}{dt} = - \frac{dp_{B}}{dt} = C_{A,B,A',B'} (p_{A}p_{B} - p_{A'}p_{B'}) $$

donde $C_{A,B,A',B'}$ es una constante positiva.

Comenzando con $\sum p_I=1$, la variación de la entropía $S$ es $\frac{dS}{dt} = \sum -\log p_I \frac{dp_{I}}{dt}$

Así, obtenemos :

$$\frac{dS}{dt} = - \frac{1}{4}[\sum_{A'}(\log p_{A'}\frac{dp_{A'}}{dt})+\sum_{B'}(\log p_{B'}\frac{dp_{B'}}{dt}) +\sum_{A}(\log p_{A}\frac{dp_{A}}{dt}) + \sum_{B} (\log p_{B}\frac{dp_{B}}{dt})] $$

Es decir :

$$\frac{dS}{dt} = - \frac{1}{4}\sum_{A, B,A', B'}C_{A,B,A',B'}(\log p_{A'}+\log p_{B'} -\log p_{A}- \log p_{B}) (p_{A}p_{B} - p_{A'}p_{B'})$$

Finalmente :

$$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{4}\sum_{A, B,A', B'}C_{A,B,A',B'}(\log p_{A'}p_{B'} -\log p_{A} p_{B}) (p_{A'}p_{B'} - p_{A}p_{B})$$

Debido a que los $C$ son constantes positivas, y $log$ es una función monótona ($x > y \to \log x > \log y$), la expresión anterior es positiva :

$$\frac{dS}{dt} \geq 0$$