¿Cuándo se califica el subgrupo de celosía?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. Decimos que el entramado de los subgrupos de $G$ es gradual, si es posible asignar un entero no negativo rango $r(H)$ a cada uno de los subgrupos $H$ de tal manera que las siguientes dos propiedades.

• Si $H \leq K$, a continuación, $r(H) \leq r(K)$.
• Si $H \leq K$ , y ningún grupo es estrictamente entre $H$ e $K$, a continuación, $r(K)=r(H)+1$.

Ejemplos de grupos con graduada celosías incluyen

• Abelian grupos ($r(H)$ es el número de factores primos en $|H|$, contados con su multiplicidad).
• El grupo simétrico $S_3$ (la identidad tiene rango $0$, todo el grupo tiene rango $2$, todos los otros subgrupos tienen rango $1$)
• Los cuaterniones grupo (identidad tiene rango $0$, $\{1, -1\}$ tiene rango $1$, los subgrupos generados por $i$, $j$, e $k$ tienen rango $2$, y el grupo entero tiene rango $3$).

Un ejemplo de un grupo sin un graduado de la celosía es $A_4$, la alternancia de grupo en $4$ elementos. Una manera de ver esto es que debes tener en cuenta que las dos cadenas $$\{e\} \leq \{e, (12)(34)\} \leq \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} \leq A_4$$ y $$\{e\} \leq \{e, (123), (132)\} \leq A_4$$ Las dos cadenas son ambos máxima ($A_4$ no tiene subgrupos de orden $6$), pero mirando a las dos cadenas de dar valores en conflicto para el rango de todo el grupo frente a la de la identidad.

Hay una descripción general de que los grupos tengan o no clasificados subgrupo celosías?

Me siento como que debería haber sido estudiado en algún lugar antes, pero no puede encontrar nada en ella.

Answer 1

Gracias the_fox para llevar Iwasawa del resultado a mi atención. Esta respuesta se está expandiendo en su comentario.

Llame a un grupo de $G$ Supersolvable (o Supersoluble) si hay una cadena de subgrupos

$$e=H_0 \vartriangleleft H_1 \dots \vartriangleleft H_m = G$$

De tal manera que cada $H_i$ es normal en $H_{i+1}$ y cada cociente $H_{i+1}/H_i$ es cíclico (a diferencia de ser solo Abelian como es requerido por la habitual solvencia). Hay algunas caracterizaciones de estos grupos, pero uno (debido a Iwasawa, en 1941, "Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen" (MathReview, el papel no parece estar disponible en línea) es que estos son los grupos cuyo máximo cadenas de subgrupos todos tienen la misma longitud, lo que equivale a tener una bien definida la función de clasificación.

Salón del libro de La Teoría de Grupos dedica la sección 19.3 y partes de la sección 10.5 a este teorema y su prueba. 10.5 también se menciona otra interesante la caracterización de estos grupos debido a Huppert: Un grupo es supersolvable si y sólo si todas la máxima adecuada subgrupos primer índice.