Deje $G$ ser un grupo finito. Decimos que el entramado de los subgrupos de $G$ es gradual, si es posible asignar un entero no negativo rango $r(H)$ a cada uno de los subgrupos $H$ de tal manera que las siguientes dos propiedades.
- Si $H \leq K$, a continuación, $r(H) \leq r(K)$.
- Si $H \leq K$ , y ningún grupo es estrictamente entre $H$ e $K$, a continuación, $r(K)=r(H)+1$.
Ejemplos de grupos con graduada celosías incluyen
- Abelian grupos ($r(H)$ es el número de factores primos en $|H|$, contados con su multiplicidad).
- El grupo simétrico $S_3$ (la identidad tiene rango $0$, todo el grupo tiene rango $2$, todos los otros subgrupos tienen rango $1$)
- Los cuaterniones grupo (identidad tiene rango $0$, $\{1, -1\}$ tiene rango $1$, los subgrupos generados por $i$, $j$, e $k$ tienen rango $2$, y el grupo entero tiene rango $3$).
Un ejemplo de un grupo sin un graduado de la celosía es $A_4$, la alternancia de grupo en $4$ elementos. Una manera de ver esto es que debes tener en cuenta que las dos cadenas $$\{e\} \leq \{e, (12)(34)\} \leq \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} \leq A_4$$ y $$\{e\} \leq \{e, (123), (132)\} \leq A_4$$ Las dos cadenas son ambos máxima ($A_4$ no tiene subgrupos de orden $6$), pero mirando a las dos cadenas de dar valores en conflicto para el rango de todo el grupo frente a la de la identidad.
Hay una descripción general de que los grupos tengan o no clasificados subgrupo celosías?
Me siento como que debería haber sido estudiado en algún lugar antes, pero no puede encontrar nada en ella.
