Resolver

Question

Deje $f(x)\in\mathbb{C}(\mathbb{R})$,$\inf\lim_{|x|\to\infty}{f(x)}=0$(que es $\inf\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=0$ e $\inf\lim_{x\to-\infty}{f(x)}=0$), de tal manera que

$$f(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}{f(t)}dt$$

Probar que:

$$f(x)\equiv 0, x\in\mathbb{R}$$

Mi intento

Yo trato de resolver esta ecuación, pero tengo problemas en ello. Obviamente, $f(x)=ax+b$ satisface la ecuación. Sin embargo, no sé cómo lidiar con el caso general.

Quiero conseguir un poco de ayuda.Gracias.

Answer 1

Deje $x \in \mathbb{R}$. A continuación, $$\left|\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}f(x)dx\right| \le \frac{1}{2}2\sup_{t \in [x-1,x+1]}|f(t)|$$ con la igualdad iff $f$ es constante a lo largo de $[x-1,x+1]$.

Supongamos $f$ no es idéntica a cero. A continuación, $\sup_{x \in \mathbb{R}}|f(x)| > 0$, y esta máxima se alcanza (desde $f(x) \to 0$), en algunos $\xi$ decir. WLOG $f(\xi) > 0$. Entonces tenemos:

$$\sup_{t \in [\xi-1,\xi+1]}|f(t)| = f(\xi) \ge \frac{1}{2}\int_{\xi-1}^{\xi+1}f(t)dt$$ por lo $f$ es constante en $[\xi-1,\xi+1]$. Por inducción, $f$ es constante en $[\xi-n,\xi+n]$ para todos los $n$, y la elección de $n$ lo suficientemente grande como muestra de que esta constante debe ser $0$.

EDIT: Esto no es bastante completo - me he dado cuenta de que el OP solo dice $f(x) \to 0$ como $x \to \infty$ y no necesariamente como $x \to -\infty$. No obvio para mí cómo revisión aún.

Patch: el argumento anterior, ciertamente tenemos un $\xi$ que maximiza $f$ a $[0,\infty)$. De ello se desprende que $f$ es constante e igual a cero en $[0,\infty)$. Pero luego podemos ir hacia atrás y conseguir que el $f$ es constante en $[-1,1]$, e $[-2,0]$, e $[-3,-1]$, y así sucesivamente... Lo $f$ debe ser idéntica a cero.

Edit 2: Como @clark señala que este argumento no es todavía completa.

Answer 2

Respuesta a la editada pregunta. Como para la edición pregunta que se supone $f(x) \to 0$ como $|x| \to \infty$, la ecuación es esencialmente una versión de la ecuación de Laplace (y de hecho es la ecuación de Laplace correspondiente a algunos de tiempo discreto proceso de difusión, ver más abajo), y por lo tanto, podemos pedir prestado diversos fantasía ideas en la teoría de la armónica de funciones. (Recomiendo leer @clark's ahora eliminado respuesta, si usted tiene la reputación suficiente para ver eliminados respuestas.)

Sólo por diversión, permítanme presentarles una solución con un poco de teoría de la probabilidad. Deje $(X_n)_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias con $X_n \sim \mathrm{Uniform}([-1,1])$ e $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ ser su suma parcial. La asunción se traduce a $ f(x) = \mathbf{E}[f(x+X_1)] $, por lo tanto

$$ f(x) = \mathbf{E}[f(x + S_n)] $$

para cualquier $n$. Desde $f(x) \to 0$ como $|x| \to \infty$, $f$ es limitada y deje $M \geq 0$ ser un atado de $f$. Además, para cualquier fija $t > 0$, sabemos por el Teorema del Límite Central que $\mathbf{P}(|S_n| \leq t) \to 0$ como $n\to\infty$. Por lo que se deduce que

\begin{align*} |f(x)| &= \mathbf{E}[|f(x+S_n)|\mathbf{1}_{\{|S_n| \leq t\}}] + \mathbf{E}[|f(x+S_n)|\mathbf{1}_{\{|S_n| > t\}}] \\ &\leq M \mathbf{P}(|S_n| \leq t) + \left( \sup_{|x-x'| > t} |f(x')| \right). \end{align*}

Tomando limsup como $n\to\infty$ seguido por $t\to\infty$, obtenemos $|f(x)| \leq 0$ y, por tanto, $f \equiv 0$.

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Respuesta a la pregunta original. Sólo bajo la condición de $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$, de hecho hay soluciones no triviales procedentes de retraso-la ecuación diferencial.

Deje $\alpha$ ser un no-cero de la solución de $\alpha = \sinh \alpha$ en $\mathbb{C}$ tal que $\operatorname{Re}(\alpha) < 0$. (Es fácil comprobar que no es puro imaginario solución, excepto el cero. Así que si $\alpha \neq 0$ resuelve la ecuación, entonces también lo hace $-\alpha$ y uno de $\alpha$ o $-\alpha$ negativos en el real parte. La existencia de dicha solución no es difícil de probar. Una de esas cero es numéricamente dado como $-2.76868 + 7.49768 i$.) A continuación, establezca

$$ f(x) = \operatorname{Re}(e^{\alpha x}). $$

Desde $|f(x)| \leq |e^{\alpha x}| = e^{\operatorname{Re}(\alpha)x} \to 0$ como $x \to +\infty$, sabemos que $f(x) \to 0$ como $x \to +\infty$. Por otra parte,

$$ \frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[ \int_{x-1}^{x+1} e^{\alpha t} \, \mathrm{d}t \right] = \operatorname{Re}\left[ \frac{\sinh(\alpha)}{\alpha} e^{\alpha x} \right] = f(x). $$

Por lo tanto, $f$ cumple todos los supuestos que en la pregunta original, pero no es idéntica a cero.