Encontrar los extremos de $\cos\left(\frac\pi2\cos x\right)+\cos\left(\frac\pi2\sin x\right)$ sin diferenciación

Question

La pregunta es: encontrar el mínimo y el máximo de $f(x)$ : $$f(x)=\cos\left(\frac\pi2\cos x\right)+\cos\left(\frac\pi2\sin x\right)$$ sin diferenciación.

Se supone que este problema se puede resolver sólo con conocimientos de precálculo, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.

$f(x)$ disminuye monótonamente desde $\frac{n\pi}2$ a $\frac{n\pi}2+\frac\pi4$ y aumenta monótonamente desde $\frac{n\pi}2+\frac\pi4$ a $\frac{(n+1)\pi}2$ pero, ¿cómo se puede demostrar la monotonicidad sin el cálculo?

También he intentado transformar la expresión en \begin{align}f(x)=&2\cos\left(\frac\pi4(\cos x+\sin x)\right)\cos\left(\frac\pi4(\cos x-\sin x)\right)\\=&2\cos\left(\frac{\sqrt2\pi}4\sin \left(x+\frac\pi4\right)\right)\cos\left(\frac{\sqrt2\pi}4\sin\left(-x+\frac\pi4\right)\right)\end{align} pero se encontró con el mismo problema de probar la monotonicidad.

Answer 1

Me gusta mucho esta pregunta.

Considere $f(x)=\cos(\frac{\pi}2\cos x)$ y $g(x)=\cos(\frac{\pi}2\sin x)$ . Desde $\cos$ es positivo sobre $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ambas funciones son positivas. Además, como $\cos(x-\pi/2)=\sin(x)$ , $g(x)$ disminuye cuando $f(x)$ aumenta y viceversa, lo que lleva a que el mínimo se produzca cuando $f(x)=g(x)$ . Para el máximo se puede utilizar el desplazamiento de fase de $\pi/2$ y el círculo unitario para ver que $\cos x$ es mayor que $\sin x$ por ejemplo $0<x<\pi/4$ por lo que se incrementa $x$ de cero hacia $\pi/4$ El aumento de $f(x)$ es mucho más lento que la caída de $g(x)$ por lo que el máximo debe ser $1$ (pierdes más de lo que obtienes :-) jajaja, así que la suma debe bajar)

Answer 2

Primer hallazgo $f(x +h) - f (x)$ . A continuación, compruebe si $f(x) >0$ o $<0$ la función aumentará o disminuirá respectivamente.

Answer 3

Creo que se puede utilizar el lema de que si $f(x)$ es continua y monótona, entonces $f(x)+f(1-x)$ es monótona en el intervalo $\left(0,\frac{1}{2}\right)$

UPD: $\cos(x)$ es una función convexa sobre $(0, \pi)$ así que puedes usar algún tipo de desigualdad de Jensen. Si tienes $a<b<c<d$ entonces $f(a)+f(d) < f(c)+f(d)$

La desigualdad de Jensen