¿Qué es la intuición detrás de corto exacta de las secuencias de los grupos; en particular, ¿cuál es la intuición detrás de grupo de extensiones?
Yo siento que las definiciones de abajo son un poco desordenados pero son cómo he aprendido acerca de ellos, en orden cronológico.
En Johnson "Presentación de$\color{red}{s}$ de los Grupos", página 100, es el siguiente . . .
Definición 1: Un diagrama en una categoría $\mathfrak{C}$, que se compone de objetos de $\{A_n\mid n\in\Bbb Z\}$ y morfismos $$\partial_n: A_n\to A_{n+1}, n\in \Bbb Z,\tag{6}$$ is called a sequence in $\mathfrak{C}$. Such a sequence is called exact if $$\operatorname{Im}\partial_n=\ker \partial_{n+1},\,\text{ for all }n\in \Bbb Z$$ [. . .] A short exact sequence in the category $\mathfrak{C}_{\Bbb R}$ of right $\Bbb R$-modules is an exact sequence of the form $(6)$ con todos, pero tres términos consecutivos es igual a cero. [. . .]
También, ibid., página 101, es este:
Es bastante obvio que una secuencia
$$0\longrightarrow A\stackrel{\theta}{\longrightarrow}B\stackrel{\phi}{\longrightarrow}C\longrightarrow 0$$
es una breve secuencia exacta si y sólo si se dan las siguientes condiciones:
$\theta$ es uno-a-uno,
$\phi$ a,
$\theta\phi=0$,
$\ker \phi\le\operatorname{Im}\theta$.
Estoy leyendo Baumslag del "Temas en la Combinatoria del Grupo de Teoría". La sección III.2 en semidirect productos comienza con
Vamos $$1\longrightarrow A\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}E\stackrel{\beta}{\longrightarrow}Q\longrightarrow 1$$ be a short exact sequence of groups. We term $E$ an extension of $$ by $P$.
Pensamientos:
Soy consciente de que semidirect productos puede ser visto como corto exacta de las secuencias, pero esto es algo que no entiendo todavía. Mi punto de vista de semidirect productos es como si se define por una presentación particular y mi go-to ejemplos son el diedro grupos.
Ayuda por favor :)
Respuestas
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Digamos que usted desea clasificar todos los grupos finitos (hasta el isomorfismo). Usted sabe que no son simples grupos, los grupos que no tienen no trivial normal subgrupos. Usted puede pensar en ellos como los "átomos." Ahora quiere clasificar a todos los grupos finitos, no sólo los simples. Usted podría esperar que cualquier grupo finito es un producto de la simple, pero por desgracia no es que... simple.
Por ejemplo, el diedro grupo de orden 6 es "construido" $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ en el sentido de que tiene normalmente un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ y el cociente es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, pero definitivamente no es su producto. Así que para terminar el problema de clasificación, necesita un conjunto de reglas para la formación de las "moléculas" de los átomos.
La "molécula" la regla es equivalente a la siguiente: dados dos grupos de $G$ e $Q$, clasificar todos los grupos de $E$ tales $G$ es un subgrupo normal de $E$ con el cociente isomorfo a $Q$. Este es exactamente el problema con la extensión. Si tenemos una manera eficaz para realizar este cálculo para cada par de grupos, y también sabemos todos que el simple grupos, entonces tenemos resuelto el classificaiton problema.
Una breve secuencia exacta $1\rightarrow A\rightarrow E\rightarrow Q\rightarrow1$ es realmente sólo una forma elegante de decir "$E$ tiene un subgrupo normal $A$ donde $E/A\cong Q$". [La secuencia también se da el isomorfismo $\beta: E/A\rightarrow Q$, mientras que $\alpha$ corresponde a la incorporación de la abstracta grupo $A$ como un subgrupo de $E$.]
Porque la atención acerca de las presentaciones: si $A$ presentación ha $\langle \mathbf{x}\mid\mathbf{r}\rangle$ e $Q$ presentación ha $\langle \mathbf{y}\mid\mathbf{s}\rangle$ , $E$ dada por el anterior corto exacta de la secuencia de presentación de la forma: $$ \langle \mathbf{x, y}\mediados de SW_S^{-1} (S\in\mathbf{s}), \mathbf{r}, \mathbf{t}\rangle $$ donde $W_{S}\in F(\mathbf{x})$ para todos los $S\in\mathbf{s}$, e $\mathbf{t}$ consta de las palabras de la forma $y^{-\epsilon}xy^{\epsilon}X^{-1}$ con $x\in\mathbf{x}$, $y\in\mathbf{y}$ e $X\in F(\mathbf{x})$. La intuición aquí es que los relatores en $\mathbf{t}$ garantizar la normalidad de $A$, y para la eliminación de todas las $x$-términos tiene sentido. Cuando son retirados de obtener la presentación de $\langle \mathbf{y}\mid\mathbf{s}\rangle$, debido a que los relatores $SW_S^{-1}$. Voy a dejar de trabajar fuera donde los mapas $\alpha$ e $\beta$ veces en esta descripción.
La presentación anterior justifica el término de la extensión de $A$ por $Q$: hemos comenzado con una presentación de $A$, y luego añadió en la presentación de $Q$ en una forma específica para obtener una presentación para $E$.
Para un ejemplo de lo anterior (con algunos realmente increíbles aplicaciones, tanto en el papel y en investigaciones posteriores), mirar el papel Rips, E. (1982), los Subgrupos de los pequeños de la Cancelación de los Grupos. Bull. Lond. De matemáticas. Soc. 14: 45-47. doi:10.1112/las hojas reproducibles/14.1.45
Es una pregunta interesante cuando una presentación de la forma anterior tiene realmente definir un grupo de extensión. Esto fue estudiado en el papel de Orgullo, S., Harlander, J. & Baik, Y. (1998). La geometría de grupo de extensiones. J. Teoría de Grupo, 1(4), pp 395-416. doi:10.1515/jgth.1998.028
