He estado reflexionando sobre esta pregunta durante bastante tiempo. Por favor ayuda. ¿Es posible definir alguna operación de grupo en$[a,b]$ (con la topología habitual heredada de$\mathbb R$) para que se convierta en un grupo topológico? Gracias por cualquier ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dick Kusleika
Puntos
15230
No. Cada mapa continuo$f$ desde$[a,b]$ a sí mismo tiene un punto fijo, donde$f(x) = x$. Esto se aplica incluso a todos los espacios$[a,b]^n$,$n \in \mathbb{N}$, según el teorema de Brouwer, aunque el caso$n=1$ es fácil de ver (considere$f(x) - x$ en$[a,b]$ y aplique el teorema de valor intermedio entre$a$ y$b$).
Y ningún grupo topológico no trivial tiene esta propiedad: por cada$a \neq e$, el mapa$f(x) = x \ast a$ no tiene puntos fijos.
No. Los puntos$a,b$ son "especiales" en$[a,b]$: poseen vecindarios abiertos conectados que permanecen conectados después de la eliminación del punto. Pero si$[a,b]$ fuera un grupo, entonces la "multiplicación" con un elemento adecuado transporta$a$ a$\frac{a+b}2$, por ejemplo, lo cual no es especial. Esto no puede pasar. (En otras palabras: un grupo topológico se ve "igual" alrededor de cada punto)
