¿Es una mezcla de dos distribuciones uniformes más compleja que una sola distribución?

Question

Soy un psicólogo el estudio de la percepción visual de los conjuntos (por ejemplo, un montón de líneas con diferentes orientaciones trazadas en una pantalla) que tienen diferentes distribuciones de probabilidad subyacentes. Uno de los revisores para nuestro trabajo nos ha pedido para justificar una declaración que parece intuitivamente correcto para mí, pero yo no era capaz de encontrar una referencia adecuada. La declaración en cuestión, dice que una mezcla de dos distribuciones uniformes es más complejo que una normal o un uniforme. La mezcla de distribución de aquí consta de dos no de intersección de las distribuciones uniformes con la igualdad de rangos pero de diferentes medios. Intuitivamente me parece que debe ser más complejo como su función de densidad de probabilidad tiene más parámetros de las funciones de un uniforme o de una distribución normal, por lo tanto, se podría decir que tiene menor "descripción longitud".

Estoy en lo correcto en decir que esta mezcla distribución es más complejo? Y si es así, ¿podría por favor proporcionar cualquier referencia apoyar esto?

Answer 1

Estoy perplejo acerca de sus distribuciones. En la Pregunta que te dicen 'uniforme', pero en uno de los Comentarios que dice 'normal'. Sospecho que puede significar 'normal' de largo.

Suponiendo que te refieres a la "normalidad" de las distribuciones, aquí es una Respuesta a su pregunta: Si los medios de $\mu_1$ $\mu_2$ de dos distribuciones normales están separados por varias desviaciones estándar, entonces la mezcla es bi-modal (tiene dos 'jorobas').

Para un ejemplo concreto, supongamos que las dos distribuciones normales son $Norm(\mu_1 = 80, \sigma = 10)$ $Norm(\mu_2=120, \sigma = 10).$ Supongamos también que la primera distribución se selecciona de forma aleatoria un 60% de el tiempo y la segunda el 40% del tiempo.

Por debajo es una simulación en el software estadístico R que simula este experimento con $n = 500$ temas haciendo elecciones al azar entre el las distribuciones de arriba para obtener los valores de $Z_i$ $ i = 1, 2, \dots, 500.$

n = 500;  x = rnorm(n, 80, 10);  y = rnorm(n, 120, 10)
choice = rbinom(n, 1, .6)
z = choice*x + (1-choice)*y
hist(z, prob=T, ylim=c(0,.03), col="skyblue2", main="Simulated Mixture of 2 Normals")
  curve(.6*dnorm(x,80,10) + .4*dnorm(x,120,10), lwd=2, col="blue", add=T)

La curva de densidad muestra se encuentra de la siguiente manera: Vamos a $\varphi_1(z)$ y $\varphi_2(z)$ ser el de las funciones de densidad de las dos distribuciones normales. Entonces la función de densidad de la mezcla de distribución es $$\varphi_{\text{mix}}(z) = .6\varphi_1(z) + .4\varphi_2(z).$$ Cada ejecución de la simulación va a producir un poco diferente de histograma, pero la curva de densidad es la misma siempre que los parámetros siguen siendo los mismos.

Si el medio de las dos distribuciones normales de la mezcla están más cerca de en conjunto, la función de densidad de la mezcla de distribución no puede se muestran dos modos distintos, pero esto no significa que la mezcla la distribución es una corriente de la distribución normal. La figura de abajo muestra la simulación de la mezcla de distribución para $\mu_1 = 90,\, \mu_2 = 110,$ y $\sigma = 10.$, En particular, la mezcla de distribución no es simétrica.

Como sugieren en sus comentarios que es más "complejo" en la que toma cuatro parámetros para describir: los dos medios, el común de la desviación estándar, y la probabilidad de que la primera distribución que se elija.