¿Todos los modelos de aritmética de Peano son equivalentes elementales?

Question

Por Löwenheim-Skolem sabemos que hay modelos de (primer orden) PA que no son isomorfos a la del modelo estándar, pero son primarias equivalente, es decir, cumplen el mismo conjunto de primer orden de las frases.

Por Gödel de la incompletitud resultado, sabemos que hay un modelo de PA en los que la canónica improbable Gödel sentencia de G es verdadera (en el modelo estándar), y (no estándar) de los modelos donde G es falsa.

Puesto que G es un primer orden de la frase, esto parece responder a la pregunta que me plantea en el título de la negativa. Correcto?

Me pregunto entonces, ¿es significativa, es decir, bien definido pregunta si por cualquier "otro" de primer orden de las frases, aquellos que intuitivamente se expresa de la forma más natural "de la aritmética verdades", todos los modelos de PA son primarias equivalente? hay otros más aritméticamente significativa$^1$ (de primer orden) de las oraciones que son independientes de la PA axiomas?

$^1$ donde 'más ... significativa' es, probablemente, demasiado vaga esperanza de una respuesta, pero yo soy esencialmente pidiendo, podemos estar seguros de que ninguna de primer orden de la propiedad sostenemos como evidentes de $\mathbb{N}$ es demostrable a partir de los axiomas de la PA?

Answer 1

Como usted dice, no, no todos los modelos de $\sf PA$ son elementarily equivalente. He aquí un buen punto:

Si $T$ es una teoría sin finito de modelos, a continuación, $T$ es completo si y sólo si todos sus modelos son elementarily equivalente.

Así que la imperfección es una forma rápida para deducir que $\sf PA$ es incompleta (tenga en cuenta que no hay finito de modelos de $\sf PA$ a causa de los axiomas acerca de la función sucesor de ser inyectiva pero no surjective).

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En cuanto a "las declaraciones normales", que depende de a qué te refieres exactamente. Podemos decir que la medida de lo $\Delta_1$ declaraciones, la respuesta es positiva.

La razón es que un $\Sigma_1$ declaración es verdadera en $\Bbb N$ si y sólo es $\sf PA$ lo demuestra. Y por lo tanto, dado un $\Delta_1$ declaración, tanto ella como su negación se $\Sigma_1$, uno de ellos es verdadero en $\Bbb N$ y por lo tanto demostrable de $\sf PA$.

Si o no $\Delta_1$ declaraciones son "razonables". Y empujando más abajo en la jerarquía aritmética es imposible, ya que $\operatorname{Con}(\sf PA)$ $\Pi_1$ afirmación y su negación es $\Sigma_1$ declaración; ninguno de los cuales es demostrable a partir de $\sf PA$.