Sugerencia: $\;b=1$ da $f(a)=g(a)\,g(1)=\lambda \,g(a)\,$$\lambda = g(1)$.
Si $\lambda=0$$f(x)=0\,$, lo que implica $g(x)=0\,$.
De lo contrario, sustituyendo de nuevo en la ecuación original: $$
\lambda\,g(ab) = g(a)\,g(b) \;\;\ffi\;\; \frac{g(ab)}{\lambda} = \frac{g(a)}{\lambda}\,\frac{g(b)}{\lambda} $$ Let $h(x)=g(x)\,/\,\lambda$ and the equation becomes $\,h(ab)=h(a)\,h(b)\,$. The latter is related to Cauchy's functional equation and, for continuous $h\,$, the solutions on $\mathbb{R}^+$ are $h(x)=x^n$ which then give $g(x)=\lambda \,x^n$ then $f(x)=\lambda^2 x^n$ for $x \ge 0$ (editar: leer la respuesta completa).
[ EDITAR ] Como se señaló en la OP del comentario, el anterior solo se aborda el caso $x \ge 0\,$. Los siguientes completa la respuesta para toda la $\mathbb{R}\,$.
Si $h(b)=0$ algunos $b \ne 0$,$h(a)=h(\frac{a}{b}\,b)=h(\frac{a}{b})\,h(b)=h(\frac{a}{b}) \cdot 0=0\,$, que a su vez da la solución trivial $h(x)=g(x)=f(x)=0\,$.
De lo contrario, $h(b) \ne 0$$b \ne 0\,$, por lo tanto, por la continuidad de $h(x)$ no se puede cambiar de signo en cualquiera de las $(-\infty,0)$ o $(0,\infty)$. (Desde $a \ge 0 \implies h(a)=h(\sqrt{a}\,\sqrt{a})=\big(h(\sqrt{a})\big)^2 \ge 0\,$ se sigue que $h$ es no negativo en $\mathbb{R}^+$, lo cual es consistente con la primera parte de la prueba).
Desde $h(-a)=h(-1)h(a)\,$ $h(a^2)=h\big((-a)^2\big)=\big(h(-1)\big)^2\,\big(h(a)\big)^2=\big(h(-1)\big)^2\,h(a^2)\,$ $\big(h(-1)\big)^2=1\,$ o $h(-1)=\pm 1$. Por lo tanto, $h(x)$ debe ser par o impar. Dada la previamente determinado $h(x)=x^n$ solución en $\mathbb{R}^+\,$, esto significa que tanto las $h(x)=|x|^n$ o $h(x)=\operatorname{sgn}(x)\,|x|^n $ $\mathbb{R}$ así que al final, las dos soluciones son $g(x) = \lambda |x|^n\,$$\,g(x)=\lambda \operatorname{sgn}(x)\,|x|^n\,$$f(x) = \lambda g(x)$.
