¿Por qué el grupo Mathieu M11 es marcadamente 4-transitivo?

Question

Estoy estudiando el sistema Steiner y los grupos de Construcción de Mathieu a partir del automorfismo de algunos sistemas Steiner. El grupo Mathieu M11 es el grupo automorismo de S (4,5,11) del sistema Steiner. No puedo entender por qué el grupo Mathieu M11 es claramente 4-transitivo. Sé lo que significa claramente 4-transitivo. Pero no tengo idea de cómo probarlo. En general, ¿existe algún procedimiento para mostrar la transitividad de algún grupo? Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Hay una escuela primaria de la prueba dada en el Capítulo $9$ "Permutaciones y la Mathieu Grupos" de Rotman del libro "Una introducción a la teoría de grupos".
La prueba funciona de forma inductiva. Se inicia con la muestra que $M_{10}$ actos bruscamente $3$-transitivamente en $X=GF(9)\cup \{ \infty\}$. Luego transitivo extensión de $M_{10}$ actuando en $\widetilde{X}=\{X,\omega\}$ se construye, donde la $\omega$ es un nuevo símbolo. Se muestra que hay un $h$ tal que $M_{11}:=\langle M_{10},h \rangle$ actos bruscamente $4$-transitivamente en $\widetilde{X}$. El resultado es:

Teorema: existe una bruscamente $4$-transitiva grupo $M_{11}$ grado $11$ y el fin de $7920$ tal que el estabilizador de un punto es $M_{10}$.

Por recuento directo de los argumentos, uno puede ver que esta $M_{11}$ es el habitual Mathieu grupo de orden $7920$. Para más detalles, véase Teorema de $9.52$ en este folleto en grupos de Mathieu. Por supuesto, las opciones en esta construcción puede ser mejor entendido si uno ve la relación entre Steiner y sistemas de Mathieu grupos.

Edit: Para reducir el $k$-transitividad a $(k-1)$-transitividad, se puede utilizar el siguiente lema:

Lema: Supongamos que $G$ es transitiva en a $X$. A continuación, $G$ $k$- transitivamente en $X$ si y sólo si $Stab_G(x)$ actúa $(k-1)$-transitiva en a $X\setminus \{x \}$.