Peniques en un tablero de ajedrez.

Question

Aquí hay una pregunta sobre monedas en el tablero de ajedrez. No es una cuestión de tarea. Lo vi en un libro.

 Pennies are placed on an 8 × 8 checkerboard in an alternating pattern of heads and
tails.

i. You are allowed to make moves where in each move you turn over exactly two pennies
   that lie next to each other in the same row or column. Can you take a sequence of
   moves that leaves just one penny face up?

ii. You are allowed to make moves where in each move you turn over exactly three
    neighboring pennies that lie in the same row or column of the checkerboard. Can you
    take a sequence of moves that leaves just one penny face up?
 

Soy capaz de hacer la primera parte usando paridad. La respuesta a la primera parte es "NO". Pero no puedo averiguar cómo hacer para la segunda parte. Por favor explique. Gracias.

Answer 1

Considere lo siguiente para colorear, donde a, b, y c son los colores, y en minúscula significa colas, mientras que la parte superior de la caja significa cabezas:

aBcAbCaB 
BcAbCaBc 
cAbCaBcA 
AbCaBcAb 
bCaBcAbC 
CaBcAbCa 
aBcAbCaB 
BcAbCaBc 

Tenga en cuenta que cualquier movimiento legal cambia el estado de exactamente una moneda de cada color. Esto significa que la paridad de conservación de número de cabezas que tiene para los pares de colores. Por ejemplo, "el número de cabezas de color A + el número de cabezas de color B" siempre tiene la misma paridad. Pero en la configuración original de los tres colores tienen un número par de cabezas. Por lo tanto, nunca se puede llegar a una configuración en la que un solo color tiene un número impar de cabezas, que sería el caso si sólo hubiera una cabeza sobre la tabla.

Curiosamente, el mismo argumento que no funciona para las colas, a menos que usted tome la imagen en el espejo de la coloración. La configuración original tiene un número impar de colas para a y c, y un número de b, de modo que uno podría (teóricamente) una situación en la que las colas(a) ~= colas(c) ~= 0 (mod 2) y colas(b) ~= 1 (mod 2).