Dado$ I_n=\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^n}{n!}e^x\,dx $, demuestre que$ I_n=\frac{1}{(n+1)!}+I_{n+1} $

Question

$$ I_n = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {(1-x) ^ n} {n!} E ^ x \, dx $$

Demostrar que $$ I_n = \ frac {1} {(n +1)!} + I_ {n +1} $$

Intenté la integración por partes y todavía no puedo probarlo, aprecio cualquier sugerencia / respuesta.

Answer 1

Utilicé $n!$ como en la imagen original. $$I_n=\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^n}{n!}e^x\,dx=\frac{1}{n!}\int_0^1 \left(-\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}\right)'e^x\,dx$ $ $$=\underbrace{-\frac{1}{n!}\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1} e^x\bigg|_0^1}_{=0-\left(-\large\frac{1}{(n+1)!}\right)} +\int_0^1 \frac{(1-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^xdx $ $ $$\Rightarrow I_n=\frac{1}{\color{}{(n+1)!}} +I_{n+1}$ $

Answer 2

Después de la prueba de la relación de recurrencia por Zacky, tenemos <span class="math-container">$$I_{n+1}=In-\frac{1}{(n+1)!}$ $</span> <span class="math-container">$$=I{n-1}-\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$ $</span> <span class="math-container">$$=I0 - \sum{k=1}^{n+1} \frac{1}{k!}$ $</span> podemos calcular <span class="math-container">$I_0$</span> de la siguiente manera <span class="math-container">$$I_0 = \int_0^1 e^x dx=[e^x]0^1=e-1$ $</span> por lo tanto la solución final es: <span class="math-container">%#% $ #%</span> <span class="math-container">$$I{n+1}=e-1 - \sum{k=1}^{n+1} \frac{1}{k!}$ $</span> o equivalente; <span class="math-container">$$=e-\sum{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!}$$</span>