polinomios con el mismo conjunto de cero

Question

Uno puede encontrar dos polinomios $P,Q \in \mathbb{R}[X,Y]$ con el mismo no vacía la puesta a cero, que no tienen factores comunes ?

Si tomamos coeficientes complejos en lugar de los coeficientes reales, la respuesta sería no (ver aquí).

Tenga en cuenta que $P=X^2+1$ $Q=Y^2+1$ no tienen factores comunes, y el mismo ajuste a cero de la $\emptyset$. Estoy buscando una menos trivial ejemplo.

EDITAR: Es posible encontrar un ejemplo donde el cero es un conjunto infinito ?

Answer 1

Deje$A,B \in \mathbb{R}[X,Y]$ y$P_{a,b} = a A^2 + bB^2$. Luego, la familia de polinomios$\{P_{a,b} \mid a,b \in \mathbb{R}^+\}\,$ tiene el mismo conjunto de cero$\{(x,y) \mid A(x,y) = 0\} \cap \{(x,y) \mid B(x,y) = 0\} $.

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[ EDITAR ] Para cubrir la pregunta de coprimalidad hecha en un comentario, tome, por ejemplo,$A,B$ para no tener factores comunes, entonces$P_{a,b}$ y$P_{a,2b}$ tampoco tienen factores comunes.