La transformada de Fourier de la unidad de paso?

Question

No entiendo qué hay de malo con mi derivación a continuación...

$\delta(t) = u'(t)$

$\mathcal{F}(\delta)(\omega) = 1 = \mathcal{F}(u')(\omega) = i\omega \times \mathcal{F}(u)(\omega)$ (ya que la transformada de Fourier de una delta 1)

$\Rightarrow \mathcal{F}(u)(\omega) = 1/(i\omega)$

Eso es claramente incorrecto, porque la respuesta es $1/(i\omega) + \pi \delta(\omega)$, pero donde tengo que ir mal?

No es la transformada de Fourier de una derivada de una función sólo de $i \omega$ veces la transformada de Fourier de la función de la misma?

Answer 1

Para complementar Dirk la respuesta:

La inversión de la diferenciación no puede funcionar así. Hay una familia de funciones que se diferencian por el aditivo constantes y todos tienen la misma derivada. Sus transformadas de Fourier se diferencian por los deltas de los ríos en el origen (proporcional a la aditivo constantes), por lo que no puede ser el caso de que usted obtenga la transformada de Fourier de todos ellos por la división de la transformada de la derivada por $\mathrm i\omega$.

El problema es que al multiplicar por $\mathrm i\omega$ multiplica por $0$ en el origen y por lo tanto aniquila cualquier delta que podría estar sentado allí, y no se puede reconstruir dividiendo por $\mathrm i\omega$. Lo que se obtiene dividiendo por $\mathrm i\omega$ (si interpretar el polo adecuadamente) es la única función con la derivada con media cero. En su caso, que sería un paso de la función que salta de $-1/2$$1/2$.

He aquí otra forma de verlo: La función

$$H_\alpha(t)=\begin{cases}\mathrm e^{-\alpha t}&t\ge0\\0&t\lt0\end{cases}$$

se define en la nota Dirk vinculados a la decae en el infinito y converge a la función de Heaviside pointwise como $\alpha\to0$. Su transformada de Fourier es $\hat H(\omega)=1/(\alpha+\mathrm i\omega)$, que converge a $1/(\mathrm i\omega)$ pointwise como $\alpha\to0$, excepto en $\omega=0$. Lo que estás haciendo se corresponde directamente establecimiento $\alpha$ a cero y el uso de la pointwise límite de la transformada de Fourier. Sin embargo, que ignora el hecho de que mientras que la parte imaginaria se va a $1/(\mathrm i\omega)$, la parte real tiene un pico en el origen, que se reduce como $\alpha\to0$ pero cuya integral es independiente de la $\alpha$:

$$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\alpha+\mathrm i\omega}\mathrm d\omega &=\int_0^{\infty}\left(\frac1{\alpha+\mathrm i\omega}+\frac1{\alpha-\mathrm i\omega}\right)\mathrm d\omega \\ &=\int_0^{\infty}\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}\mathrm d\omega \\ &=2\left[\arctan\frac \omega\alpha\right]_0^{\infty} \\ &=\pi\;. \end{align} $$

Es este aumento de tamaño de la $\pi$ que usted está cayendo cuando se utiliza el pointwise límite, que tiene promedio de $0$ (si interpretar el polo adecuadamente).

Answer 2

Así, la transformada de Fourier de la función de heaviside casi siempre lleva a la confusión. En lugar de una respuesta, me gustaría señalar que la nota simpática La transformada de Fourier de la función de Heaviside: una tragedia`Ed Buehler que esperamos responder a su pregunta.